31. Неопределенные выражения.
В предыдущем 
мы рассматривали выражения
и, в предположении, что варианты 
стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, предел 
не должен был равняться нулю), устанавливали пределы каждого из этих выражений.
Оставлены были без рассмотрения случаи, когда пределы переменных 
(один или оба) бесконечны или - если речь идет о частном - когда предел знаменателя нуль. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырех, представляющих некоторую важную и интересную особенность.
1°. Рассмотрим сначала частное — и предположим, что обе переменные и 
одновременно стремятся к нулю. Здесь мы впервые сталкиваемся с совсем особым обстоятельством: хотя нам известны пределы 
, но о пределе их отношения не зная самих этих вариант - никакого общего утверждения мы сделать не можем. Этот предел, в зависимости от частного закона изменения обеих переменных, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать. Следующие простые примеры поясняют это.
Пусть, скажем, 
обе варианты стремятся к нулю. Их отношение 
также стремится к нулю. Если же, наоборот, положить 
то хотя они по-прежнему стремятся к нулю, на этот раз их отношение 
стремится к 
Взяв же любое отличное от нуля число а и построив две бесконечно малые 
видим, что отношение их имеет пределом а (так как тождественно равно а).
Наконец, если 
(обе имеют пределом нуль), то отношение 
оказывается вовсе не имеющим предела.
Таким образом, одно знание пределов вариант 
в данном случае не позволяет еще судить о поведении их отношения: необходимо знать сами варианты, т. е. закон их изменения, и непосредственно исследовать отношение 
Для того, чтобы характеризовать эту особенность, говорят, что когда 
выражение 
представляет неопределенность вида 
2°. В случае, когда одновременно 
имеет место подобное же обстоятельство. Не зная самих вариант, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Этот факт иллюстрируется примерами, вполне аналогичными приведённым в 
вовсе не имеет предела.
И в этом случае говорят, что выражение — представляет неопределенность - вида — 
Обратимся к рассмотрению произведения 
Если 
стремится к нулю, в то время как 
стремится 
то, исследуя поведение произведения хпуп, мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 1° и 2°. Об этом свидетельствуют примеры:
вовсе не имеет предела.
В связи с этим при 
говорят, что выражение хпуп представляет неопределенность вида 
Рассмотрим, наконец, сумму 
4° Здесь оказывается особым случай, когда 
стремятся к бесконечности разных знаков: именно в этом случае о сумме 
ничего определенного сказать нельзя, не зная самих вариант 
Различные возможности, представляющиеся здесь, иллюстрируются примерами:
вовсе не имеет предела.
Ввиду этого, при 
, говорят, что выражение 
представляет неопределенность вида 
Таким образом, поставив себе задачей - определить пределы арифметических выражений (2) по пределам вариант 
из которых они составлены, мы нашли четыре случая, когда этого сделать нельзя: неопределенности вида
В этих случаях приходится, учитывая закон изменения вариант 
непосредственно исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название раскрытие неопределенности. Далеко не всегда оно так просто, как в приведенных выше схематических примерах. Ниже мы укажем несколько более интересных примеров этого рода.
