229. Примеры.

1) Кривая Вивиани. Так называется кривая пересечения поверхностей сферы и прямого цилиндра, для которого направляющей служит окружность, построенная на радиусе сферы, как на диаметре (рис. 127). Пусть радиус сферы есть если расположить оси, как указано на рисунке, то уравнения сферы и цилиндра, соответственно, будут

Совокупность их и определяет нашу кривую.

Кривая имеет вид изогнутой восьмерки; в точке она сама себя пересекает, так что эта точка - наверное особая. Это подтверждается и вычислением. Матрица

имеет определители

которые все вместе обращаются в 0 именно в этой точке.

Кривую Вивиани можно представить и параметрически, например, так:

Действительно, нетрудно проверить, что эти выражения тождественно удовлетворяют неявным уравнениям кривой и что при изменении параметра скажем, от 0 до полностью описывается вся кривая.

Точка получается дважды - при т. е. является кратной, как и следовало ожидать.

Рис. 128.

2) Есть случаи, когда параметрическое представление естественно вытекает из самого происхождения кривой. Рассмотрим, в виде примера, винтовую линию. Происхождение ее можно себе представить следующим образом. Пусть некоторая точка М, находившаяся первоначально в А (рис. 128), вращается равномерно вокруг оси z (скажем, по часовой стрелке) и одновременно участвует в равномерном же поступательном движении параллельно этой оси (допустим, в положительном направлении). Траектория точки М и называется винтовой линией. За параметр, определяющий положение точки М, можно принять угол t, составляемый с осью х проекцией отрезка Координаты и у точки М будут те же, что и у точки Р, так что где а есть радиус описываемой точкой Р окружности. Что же касается вертикального перемещения то оно растет пропорционально углу поворота t (ибо поступательное и вращательное движения оба происходят равномерно), т. е. . Окончательно параметрические уравнения винтовой линии будут

Полученная винтовая линия называется левой; при правой системе координатных осей те же уравнения выражали бы правую винтовую линию.

Легко исключить из уравнений (15) параметр t и перейти к явному заданию; например, найдя t из последнего уравнения и подставив его выражение в первые два, получим

3) Рассмотрим сферическую поверхность радиуса с центром в начале (рис. 129). Ее неявное уравнение будет, как известно,

Желая получить ее обычное параметрическое представление, проведем «экваториальное» сечение а через «полюсы» и рассматриваемую точку М - «меридиан» Положение точки М на сфере может быть определено углами Имеем Затем а через координаты же для М, что и для выразятся так:

0. Собирая все эти результаты, окончательно параметрические уравнения поверхности сферы получим в виде:

причем угол достаточно изменять от о до

, а угол - от 0 до .

Рис. 129.

Однако, соответствие между точками сферической поверхности и точками прямоугольника на плоскости не будет взаимно однозначным: значения приводят к одним и тем же точкам поверхности и, кроме того, при каково бы ни было значение , получается одна лишь точка - полюс

Если заменить углом изменяющимся от до а менять между , то мы придем к обычным географическим координатам: широте и долготе.

Для матрицы частных производных

все определители

обращаются вместе в нуль при Однако очевидно, что оба «полюса» представляют особенность только применительно к этому аналитическому представлению сферы.

Легко видеть, что одно семейство координатных линий на сфере составится из меридианов а другое - из параллельных кругов

4) Можно обобщить предыдущий пример следующим образом. Пусть в плоскости задана кривая (образующая) своими параметрическими уравнениями

причем Станем вращать ее, как твердое тело, вокруг оси z (рис. 130). Если через обозначить угол поворота, то уравнения получаемой поверхности вращения напишутся в виде

Если в плоскости взять полуокружность

и ее вращать вокруг оси то параметрическое представление образуемой таким путем сферической поверхности мы получим (с точностью до обозначений) в прежнем виде.

Предоставляем читателю убедиться в том, что особыми точками для поверхности вращения могут быть лишь точки на оси вращения, либо же точки, полученные при вращении из особых точек образующей.

Координатными линиями и здесь служат различные положения образующей (меридианы) и параллельные круги.

Рис. 130.

5) Если к вращательному движению кривой (16) присоединить еще поступательное - параллельно оси вращения, то (предполагая оба движения происходящими равномерно) получим общую винтовую поверхность

Возьмем, в частности, в качестве образующей положительную часть оси х:

Подвергнув ее винтовому движению, придем к обыкновенной винтовой поверхности

Для общей винтовой поверхности одно семейство координатных линий состоит из различных положений образующей а другое - из винтовых линий