137. Второе правило.
При разыскании экстремумов исследование знака производной вблизи испытуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной в самой этой точке; покажем это.
Итак, пусть функция 
не только имеет производную 
в окрестности точки 
но и вторую производную в самой точке 
Точка 
- стационарная, т. е. 
Если 
то, по лемме п° 109, - функция 
в точке 
возрастает, т. е. вблизи точки 
слева 
а справа 
Таким образом, производная 
меняет знак минус на плюс и, следовательно, 
имеет в точке 
минимум. Если 
то 
в точке 
убывает, меняя знак плюс на минус, так что налицо максимум.
Таким образом, можно сформулировать второе правило для испытания «подозрительного» значения 
подставляем 
во вторую производную 
если 
то функция имеет минимум, если же 
то - максимум.
Это правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения; оно, например, явно неприложимо к тем точкам, где не существует конечной первой производной (ибо там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает. Решение вопроса зависит тогда от поведения высших производных [см. следующий п°].
Если пожелать приложить это правило к примеру 2), то нужно вычислить вторую производную:
При 
— первое слагаемое обращается в нуль и знак 
противоположен знаку 
это будет минус для 
— (здесь максимумы) и плюс для 
— (здесь минимумы). Для 
ввиду равенства 
сведется к 
так что в первой из этих точек знак второй производной будет плюс (минимум), а во второй минус (максимум).
Вот новый пример: найти экстремумы функции 
Производная 
обращается в нуль вместе с числителем; ее корни будут 
Дифференцируем производную снова как произведение:
причем точками заменен член, содержащий множителем 
и нам не нужный, ибо для тех значений х, которые мы собираемся подставлять, он заведомо нуль.
Рис. 61.
Легко видеть, что 
следовательно, значение 
есть максимум, а 
- минимум.
График функции данна рис. 61 [см. 149, 5)].
Наконец, рассмотрим еще такую задачу геометрического содержания: найти экстремальные значения для расстояния 
от данной (на плоскости) точки 
до точек 
кривой (К), заданной своим уравнением: 
(рис. 62).
Рис. 62.
Вместо функции 
можно рассмотреть функцию
где 
Приравнивая нулю производную:
видим, что для того, чтобы точка 
на кривой (К) доставляла экстремум расстоянию 
необходимо выполнение условия:
Иными словами, точка 
должна лежать на прямой
проведенной через точку 
кривой перпендикулярно к касательной; ее называют нормалью к кривой.
Допустим же, что точка 
действительно лежит на нормали к кривой (К) в точке 
; будет ли расстояние 
экстремум? Решение этого вопроса зависит от знака второй производной:
Это выражение обращается в нуль (предполагая 
лишь в точке С с координатами:
для нее вопрос остается открытым. Точка С отделяет на нормали те точки Р, для которых 
и расстояние 
будет максимум, от тех точек Р, для которых и" 
и это расстояние есть минимум.
Впоследствии [243, 253] мы увидим, что эта пограничная точка С на нормали замечательна во многих отношениях.
