208. Неявные функции от нескольких переменных.

Аналогично уравнению (1) можно рассматривать и уравнение с большим числом переменных

При известных условиях этим уравнением у определяется как «неявная» функция от переменных

которая, вообще говоря, будет многозначной. Если подставить ее вместо у, то будем иметь -

уже тождественно относительно

Мы будем говорить, что в -мерном параллелепипеде

уравнение (4) определяет у как однозначную функцию от если для любой точки содержащейся в n-мерном параллелепипеде

уравнение (4) имеет один, и только один, корень у в промежутке

В роли такого параллелепипеда обычно будет фигурировать окрестность интересующей нас точки

Сформулируем теперь относящуюся к уравнению (4) теорему. Теорема III. Предположим, что

1) функция определена и непрерывна в -мерном параллелепипеде

с центром в точке

2) частные производные существуют и непрерывны в

3) функция в точке обращается в нуль; и, наконец,

4) производная в этой точке не равна нулю.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки уравнение (4) определяет у как однозначную функцию отхг,

б) при эта функция принимает значение

в) функция непрерывна по совокупности своих аргументов и

г) имеет непрерывные же частные производные

На доказательстве мы останавливаться не будем, так как оно совершенно аналогично доказательству теорем I и II.

Наконец, в самом общем случае может быть дана система из уравнений с переменными

Здесь речь идет об определении этой системы переменных как «неявных» функций от переменных

так что при подстановке в (5) получаются тождества

Говорят, что в (пп -мерном параллелепипеде

система (5) определяет как однозначные функции от если для каждой точки в n-мерном параллелепипеде

система уравнений (5) имеет одну, и только одну, систему решений принадлежащую -мерному параллелепипеду

Мы видели, что в вопросе о существовании однозначной неявной функции, определяемой одним уравнением (1) или (4), решающую роль играло требование, чтобы в рассматриваемой точке, удовлетворяющей уравнению, не обращалась в нуль производная - именно по той переменной, которая подлежит определению как неявная функция. В вопросе же о существовании однозначных неявных функций определяемых системой уравнений (5), к которому мы сейчас переходим, аналогичную роль будет играть якобиан от функций, стоящих в левых частях, по переменным

Теорема IV. Предположим, что

1) все функции определены и непрерывны в -мерном прямоугольном параллелепипеде

с центром в точке

2) существуют и непрерывны в частные производные от этих функций по всем аргументам;

3) точка удовлетворяет системе (5);

4) якобиан [см. (6)] в этой точке отличен от нуля.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки система уравнений (5) определяет как однозначные функции от

б) при эти функции принимают, соответственно, значения

в) функции непрерывны и

г) имеют непрерывные же частные производные по всем аргументам.

Доказательство поведем по методу математической индукции. При когда система сводится к одному уравнению, теорема верна (это - теорема III). Допустим теперь, что теорема верна для случая, когда система состоит из уравнений и речь идет об определении неявных функций, и докажем ее для системы из уравнений.

Поскольку якобиан в точке отличен от нуля, в последнем столбце его хоть один элемент в этой точке также не равен нулю; пусть, например,

В таком случае, по теореме III, последнее уравнение, системы (5) - в некоторой окрестности точки - определяет как однозначную функцию от остальных аргументов:

так что тождественно (относительно этих аргументов) имеем

Эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные; кроме того

Важно подчеркнуть, что, поскольку мы ограничиваемся впредь упомянутой окрестностью уравнение

равносильно уравнению (7): в пределах ему удовлетворяют одни и те же системы значений переменных .

Заменяя последнее из уравнений (5) этим уравнением (7) и подставляя функцию вместо в остальные уравнения системы (5), мы получим новую систему уже из уравнений с переменными

где для сокращения положено (при

Если выходить за пределы окрестности §), то система (5) оказывается равносильной системе (10) с добавлением уравнения (7). Поэтому, если нам удастся доказать, что системой (10) в достаточно малой окрестности точки переменных определяются как однозначные функции от

то в силу (7) и переменная определится как такая однозначная функция:

и заключение а) будет полностью оправдано

Обратимся же к системе (10) и покажем, что в окрестности точки для нее выполняются условия, аналогичные 1), 2), 3), 4). Справедливость первых двух непосредственно вытекает из свойств функций , ввиду (11). Точно так же условие 3), в связи с (11) и (9), дает нам (для

Остается лишь рассмотреть якобиан (аналогичный J)

и убедиться в том, что он отличен от нуля в точке этой целью преобразуем определитель прибавляя к элементам первых его столбцов элементы столбца, умноженные ответственно на

Если считать здесь то все элементы, кроме находящихся в последней строке и в последнем столбце, будут представлять собой частные производные от функций Именно, ввиду (11), дифференцируя как сложную функцию по [пользуясь правилом п° 181], получим

С другой стороны, если продифференцировать по тождество то окажется, что

Таким образом, элементы в последней строке (кроме последнего) все равны нулю. Окончательно

Разложив этот определитель по элементам последней строки, придем к результату

Положим, наконец, здесь тогда в силу (9), обратится в Так как в этом случае, по условию 4), отлично от нуля, то не может быть нулем и , ч. и тр. д.

Для системы (10), содержащей уравнений, наша теорема предположена верной. Следовательно, система эта в окрестности точки определяет однозначные функции (12), непрерывные и имеющие непрерывные производные; кроме того, эти функции удовлетворяют и требованию б):

Отсюда следует, что функция (12а) также непрерывна и имеет непрерывные производные, и, наконец, принимая во внимание (13) и (9):

Теорема доказана.

Замечание. Мы обращаем внимание читателя на локальный характер всех теорем существования неявных функций: речь идет все время лишь о некоторой окрестности рассматриваемой точки. Но и в таком виде эти теоремы полезны; например, читатель увидит это в главе VII, где при изучении свойств геометрического образа в данной его точке совершенно достаточно ограничиться непосредственной ее окрестностью.