76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов.

4° Если

то, при любых вещественных значениях х и у, удовлетворяется соотношение

Это с легкостью вытекает из теоремы сложения для обоих косинусов:

[48, 6°]. Функциональное уравнение (Д), вместе с требованием непрерывности функции, и на этот раз полностью характеризует оба косинуса:

единственными функциями, определенными и непрерывными в промежутке и удовлетворяющими в нем условию (Д), являются тригонометрический и гиперболический косинусы (если, как и выше, не считать функции, тождественно равной нулю).

Итак, пусть будет непрерывная для всех х функция, удовлетворяющая условию (Д). Полагая и принимая за у какое-либо из значений, для которых заключаем, что

При в таком случае получается

так что функция оказывается четной.

Поскольку непрерывная функция при будет положительна, то найдется такое, скажем, положительное число с, что будет положительна во всем промежутке [0, с]. В дальнейшем исследование пойдет по разным путям в зависимости от того, будет ли или Займемся сначала случаем (а).

Так как то найдется такое что

Приведя затем основное соотношение (Д) к виду:

станем в нем последовательно полагать

и т. д. Мы получим [с учетом (10) и (12)]

и т. д. Пользуясь методом математической индукции, легко докажем для любого натурального формулу

Если же в (Д) положить то получим [снова с учетом (10) и (12)]:

так как остается положительной между 0 и с, а функция - между , то, извлекая положительные корни в обеих частях, придем к равенству.

Совершенно так же, полагая в (Д) , найдем, что

и т. д. Так, последовательно (математическая индукция!), получим и общее соотношение

Наконец, повторяя тот процесс, с помощью которого мы, отправляясь от (12), пришли к (13), мы из (14) придем к равенству

Итак, для положительных значений х вида — имеем:

Но так как любое положительное число х можно представить как предел значений этого вида, то, с помощью предельного перехода (и опираясь на непрерывность функций установим справедливость формулы (15) для всех . Для она будет верна в силу (11), а для - в силу (10).

Если заменить в на — и положить то и получим окончательно:

В случае имеем: тогда найдется такое 0, что

Повторяя дословно все проведенные только что рассуждения и опираясь на соотношения для гиперболического косинуса, совпадающие по форме с соответствующими соотношениями для тригонометрического косинуса, мы для рассматриваемого случая найдем, что

При по обеим формулам получили бы:

Функциональные уравнения (А), (Б), (В), (Г) и (Д) впервые были рассмотрены Коши, который и дал их решения в непрерывных функциях.