§ 5. Приближенное решение уравнений
153. Вводные замечания.
Займемся теперь задачей о нахождения корней данной функции 
, т. е. корней уравнения
Впрочем, решать эту задачу мы будем в предположении, что интересующий нас корень 
изолирован, т. е. что найден содержащий его промежуток 
в котором других корней нет.
Если, сверх того, на концах промежутка функция 
имеет значения 
разных знаков, то, как это было разъяснено в п° 81, в связи с применением 1-й теоремы Больцано - Коши, последовательно деля на части промежуток, содержащий корень, и определяя знак функции 
в точках деления, можно произвольно сужать этот промежуток и тем осуществлять приближенное вычисление
корня. Однако, этот прием, несмотря на его принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным, ибо требует слишком большого количества вычислений. В настоящем параграфе читатель познакомится с простейшими приемами приближенного вычисления (изолированного) корня уравнения (1), которые более систематически и более быстро ведут к цели. При этом мы снова будем иметь случай использовать основные понятия и методы дифференциального исчисления.
Мы будем всегда предполагать выполнение следующих условий:
1) функция 
в промежутке 
непрерывна вместе со своими производными 
2) значения 
функции на концах промежутка имеют разные знаки: 
3) обе производные 
сохраняют каждая определенный знак во всем промежутке 
Из непрерывности функции 
и условия 2) следует, что между а и 
содержится корень 
уравнения (1) [80]. Так как производная 
сохраняет знак [3)], то 
в промежутке 
возрастает или убывает и, следовательно, обращается в 0 лишь однажды: корень 
изолирован.
Условие 3) геометрически означает, что кривая 
не только идет в одном направлении, - все время вверх или все время вниз, смотря по знаку 
но к тому же (строго) выпукла вниз или вверх, смотря по знаку 
На рис. 82 изображены четыре возможных случая, отвечающих различным комбинациям знаков 
В алгебре устанавливается, что при вычислении (вещественных) корней алгебраических уравнений всегда может быть создано такое положение вещей, при котором выполняются условия 1), 2), 3), так что эти условия принципиально не ограничивают приложимости излагаемых ниже приемов. Этого нельзя сказать по отношению к трансцендентным (т. е. неалгебраическим) уравнениям. Однако на практике поставленные ограничения мало стеснительны, так как в большинстве случаев высказанные условия выполняются.
