45. Определение понятия функции.

Отвлечемся теперь, как обычно, от физического смысла рассматриваемых величин и дадим точное общее определение понятия функции - одного из основных понятий математического анализа.

Пусть даны две переменные х и у с областями изменения X и Предположим, что по условиям вопроса переменной х может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная у называется функцией от переменной х в области ее изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению х из X ставится в соответствие одно определенное значение у (из

Независимая переменная х называется также аргументом функции.

В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента х (её называют областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями х и у. (Область изменения функции у обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений.)

Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению х из X отвечало

не одно, а несколько значений у (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше. Впрочем, в курсе анализа, стоящем на точке зрения вещественной переменной, избегают многозначных функций, и впредь говоря о функции, если не оговорено противное, мы будем разуметь однозначную функцию.

Для указания того факта, что у есть функция от х, пишут:

Буквы характеризуют именно то правило, по которому получается значение у, отвечающее заданному х. Поэтому, если одновременно рассматриваются различные функции от одного и того же аргумента х, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой.

Хотя именно буква (в различных алфавитах) связана со словом «функция», но для обозначения функциональной зависимости, разумеется, может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют ту же букву у:

В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, Под этот тип подходит привычное нам обозначение варианты которая является (как мы теперь можем сказать) функцией от «независимой переменной» пробегающей ряд натуральных чисел Аналогично и обозначение для номера (в определении предела варианты, 23), которое подчеркивает его зависимость от и т. д.

Если, рассматривая функцию, скажем, мы хотим отметить ее частное значение, которое отвечает выбранному частному значению х, равному то для обозначения его употребляют символ: Например, если

то означает численное значение функции при т. е. попросту число аналогично, означает число число и т. п.

Обратимся теперь к самому правилу или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости. Правило это может быть весьма разнообразной природы, поскольку оно ничем не было ограничено.

Наиболее простым и естественным представляется осуществление этого правила в виде аналитического выражения или

формулы, содержащих указание на те операции или действия над постоянными числами и над значением х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа (мы еще вернемся к нему в следующем п°). С ним читатель всего лучше знаком из школьного курса математики; наконец, именно аналитическим способом мы пользовались в приведенных в 44 примерах.

Однако было бы ошибочным думать, что это - единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция - «целая часть числа . Легко сообразить, что

хотя никакой формулы, выражающей нас нет.

Таковы также и многочисленные «арифметические функции», т. е., функции от натурального аргумента, принимающие лишь натуральные же значения. В виде примера упомянем «о факториале числа и»:

а также о функции представляющей число делителей числа и, или о функции указывающей, сколько в ряду имеется чисел, взаимно простых с и. Несмотря на своеобразный характер правил, которыми задаются эти функции, они позволяют вычислять значения функций с такой же определенностью, как и формулы. Например, имеем:

В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально или путем наблюдений. Например, если подвергнуть воду произвольно выбранному давлению (атм), то на опыте можно определить соответствующую ему температуру кипения воды: в есть функция от . Однако эта функциональная зависимость задается не какой-либо формулой, а лишь таблицей, где просто сопоставлены полученные из опыта данные. Примеры табличного способа задания функции легко найти в любом техническом справочнике.

Наконец, упомянем еще, что в некоторых случаях - при помощи самопишущих приборов - функциональная зависимость между физическими величинами задается непосредственно графиком. Например, «индикаторная диаграмма», снимаемая при помощи индикатора,

тора, дает зависимость между объемом V и давлением пара в цилиндре работающей паровой машины; «барограмма», доставляемая барографом, представляет суточный ход атмосферного давления, и т. п.

Мы не входим в подробности относительно табличного и графического способов задания функциональной зависимости, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться.