181. Производные от сложных функций.

Пусть имеем функцию

определенную в (открытой) области причем каждая из переменных х, у, z в свою очередь, является функцией от переменной t в некотором промежутке:

Пусть, кроме того, при изменении t точки не выходят за пределы области

Подставив значения х, у и z в функцию получим сложную функцию:

Предположим, что и имеет по х, у и z непрерывные частные производные их, и что существуют. Тогда можно доказать существование производной сложной функции и вместе с тем вычислить ее.

Действительно, придадим переменной t некоторое приращение тогда х, у и z получат соответственные приращения функция же и получит приращение

Представив приращение и в форме (1) (это мы можем сделать, так как предположили существование непрерывных частных производных их, получим

где при Разделив обе части равенства на будем иметь

Устремим теперь приращение к нулю; тогда будут стремится к нулю, так как функции х, у и z от t непрерывны (мы предположили существование производных , а потому также будут стремиться к нулю. В пределе получим:

Видим, что при сделанных предположениях производная сложной функции действительно существует. Если воспользоваться дифференциальным обозначением, то формулу (8) можно записать так:

Теперь рассмотрим тот случай, когда х, у и z зависят не от одной переменной t, а от нескольких переменных; например,

Кроме существования и непрерывности частных производных функции мы предполагаем здесь существование производных от функций х, у, z по t и V.

После подстановки функций в функцию мы будем иметь некоторую функцию от двух переменных t и и возникает вопрос о существовании и вычислении частных производных . Но этот случай не отличается существенно от уже изученного, ибо при вычислении частной производной функции от двух переменных мы одну из переменных фиксируем, и у нас остается функция только от одной

переменной. Следовательно, для этого случая формула (8) остается без изменения, а формулу (9) нужно переписать в виде: