91. Задача о проведении касательной к кривой.
Пусть дана кривая (К) (рис. 37) и на ней точка М; обратимся к установлению самого понятия касательной к кривой в ее точке М.
Рис. 37.
В школьном курсе касательную к окружности определяют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку». Но это определение имеет частный характер, не вскрывая существа дела. Если попытаться применить его, например, к параболе 
(рис. 38 а), то в начале координат О обе координатные оси подошли бы под это определение; между тем, - как, вероятно, непосредственно ясно и читателю, - на деле лишь ось х служит касательной к параболе в точке 
Мы дадим сейчас общее определение касательной. Возьмем на кривой (К) (рис. 37), кроме точки М, еще точку 
и проведем
Заметим попутно, что отсюда вытекает удобный прием для фактического построения касательной к параболе. Именно, из 
(рис. 38, б), отрезок
так что Т есть середина отрезка 
Итак, для того чтобы получить касательную к параболе в ее точке М, достаточно разделить пополам отрезок 
и середину его соединить с точкой 
В случае любой кривой, с уравнением
угловой коэффициент касательной устанавливается подобным же образом. Приращению 
абсциссы отвечает приращение 
ординаты, и отношение
выражает угловой коэффициент секущей, 
Угловой же коэффициент касательной получается отсюда путём перехода к пределу при 
Когда точка 
будет перемещаться вдоль по кривой, эта секущая будет вращаться вокруг точки М.
секущей 
когда точка 
вдоль по кривой стремится к совпадению с М. (Смысл этого определения состоит в том, что угол 
становится сколь угодно малым, лишь только достаточно мала хорда 
в любой ее точке 
Так как касательная проходит через эту точку, то для уточнения ее положения достаточно знать еще ее угловой коэффициент.
а касательной к точке М.
от точки М кривой перейдем к точке 
с абсциссой 
и ординатой
секущей 
определится из прямоугольного 
. В нем катет 
равен приращению абсциссы 
а катет 
очевидно, есть соответствующее приращение ординаты
Мы приходим таким образом к результату:
