183. Формула конечных приращений.

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой области и имеет непрерывные частные производные внутри этой области (т. е. во всякой внутренней ее точке). Рассмотрим две точки из

которое можно соединить прямолинейным отрезком целиком лежащим в области

Тогда имеет место формула:

вполне аналогичная известной формуле конечных приращений для функции одной переменной [112, (2)]. Для доказательства ее положим в функции

(при рассмотрим нашу функцию именно в точках прямолинейного отрезка Сложная функция от t

непрерывна во всем промежутке [0, 1] [170], а внутри него имеет производную, которая, по формуле (8), равна

ибо из (11)

Применим к функции в промежутке [0, 1] формулу (2) п° 112:

Если заметить, что, по определению функции

и подставить вместо производной только что найденное выражение (при то и придем к формуле (10).

В качестве простого примера приложения доказанной формулы упомянем следующее предложение:

Если функция непрерывная в замкнутой и связной области внутри области имеет частные производные равные 0:

то эта функция во всей области сводится к постоянной:

Пусть будут любые две точки области Ввиду предположенной связности эти точки можно соединить ломаной, не выходящей за пределы . Если есть следующая за вершина ломаной, то, положив в сразу получим

переходя так последовательно от вершины к вершине, окончательно найдем: