37. Приближенное вычисление числа е.

Вернемся к равенству (6). Если фиксировать к и, считая отбросить все члены последней части, следующие за то получим неравенство

Увеличивая здесь до бесконечности, перейдем к пределу; так как все скобки имеют пределом 1, то найдем:

Это неравенство имеет место при любом натуральном к. Таким образом, имеем

откуда ясно [в силу теоремы 3°, 28], что и

Заметим попутно, что есть частичная сумма для бесконечного ряда [25, 9)]

и написанное только что предельное соотношение показывает, что является его суммой; говорят также, что число разлагается в этот ряд, и пишут

Варианта для приближенного вычисления числа гораздо удобнее, чем Оценим степень близости к е. С этой целью рассмотрим

сначала разность между любым значением следующим за и самим Имеем

Если в скобках заменить все множители в знаменателях дробей через то получим неравенство

которое лишь усилится, если заменить скобки суммой бесконечной прогрессии:

Сохраняя здесь неизменным, станем увеличивать до бесконечности; варианта (занумерованная значком принимает последовательность значений

очевидно, сходящуюся к е. Поэтому получаем, в пределе,

или, наконец,

Если через в обозначить отношение разности к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то можно написать также

Заменяя здесь его развернутым выражением, мы и придем к важной формуле:

которая послужит отправной точкой для вычисления е. Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для .

Поставим себе задачей с помощью формулы (7) вычислить скажем, с точностью до Прежде всего, нужно установить, каким взять число (которое находится в нашем распоряжении), чтобы осуществить эту точность.

Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам (см. прилагаемую табличку), мы видим, что при «дополнительный» член формулы (7) будет уже

так что, отбрасывая его, мы делаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Остановимся же на этом значении Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, т. е. меньше Мы свели результаты вычислений в табличку. Рядом с приближённым числом поставлен знак или указывающий на знак поправки, которую необходимо было бы прибавить для восстановления точного числа.

Итак, как мы видим, поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше. Учитывая теперь ещё и поправки на округление (с их знаками), легко сообразить, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа лежит между

Отсюда само число содержится между дробями

так что можно положить

Отметим попутно, что та же формула (7) может служить и для доказательства иррациональности числа е.

Рассуждая от противного, попробуем допустить, что равно рациональной дроби тогда, если именно для этого написать формулу (7), будем иметь

Умножив обе части этого равенства на по сокращении знаменателей всех дробей, кроме последней, мы получим слева целое число, а справа - целое число с дробью , что невозможно. Полученное противоречие и доказывает то, что требовалось.