§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин

60. Сравнение бесконечно малых.

Предположим, что в каком-либо исследовании одновременно рассматривается ряд бесконечно малых величин:

которые, вообще говоря, будут функциями от одной и той же переменной, скажем, стремящейся к конечному или бесконечному пределу а. Во многих случаях представляет интерес сравнение названных бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу сравнения двух бесконечно малых а и кладется поведение их отношения. На этот счет установим два соглашения: I. Если отношение (я с ним и имеет конечный и отличный от нуля предел, то бесконечно малые а и считаются величинами одного порядка.

II. Если же отношение — само оказывается бесконечно малым (а обратное отношение - бесконечно большим), то бесконечно малая Р считается величиной высшего порядка, чем бесконечно малая а, и одновременно бесконечно малая а будет низшего порядка, чем бесконечно малая

Например, если то по сравнению с этой бесконечно малой одного порядка с нею будут бесконечно малые

ибо, как мы знаем [54, 7); 56, 3)],

Наоборот, бесконечно малые

будут, очевидно, высшего порядка, чем [56, 4); 5), (а) и (б)].

Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно малых не стремится ни к какому пределу; например, если взять [см. 54, 9) и 10)]

то их отношение, равное при предела не имеет. В таком случае говорят, что две бесконечно малые не сравнимы между собой.

Заметим, что если бесконечно малая оказывается высшего порядка, чем бесконечно малая а, то этот факт записывают так:

Например, можно писать:

Таким образом, символ служит общим обозначением для бесконечно малой высшего порядка, чем а. Этим удобным обозначением мы впредь будем пользоваться.