93. Примеры вычисления производных.

В качестве примеров вычислим производные для ряда элементарных функций:

1° Отметим, прежде всего, очевидные результаты: если то каково бы ни было так что если же то

2° Пусть теперь где - натуральное число.

Придадим х приращение тогда новое значение у будет

так что

и

Так как при все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю, то

3° Если

и

Отсюда

При этом предполагается, конечно,

4° Рассмотрим функцию Имеем:

наконец, пользуясь непрерывностью корня, получим

Все эти результаты содержатся как частные случаи в следующем. 5° Степенная функция: - любое вещественное число). Область изменения х зависит от она была указана в 48, 2°. Имеем (при )

Если воспользоваться пределом, вычисленным в 77 [5) (в)], то получим

В частности

6° Показательная функция:

Здесь

Воспользовавшись пределом, вычисленным в 77 [5) (б)], найдем:

В частности,

Итак, скорость возрастания показательной функции (при пропорциональна значению самой функции: чем большего значения

функция уже достигла, тем быстрее в этот момент она растет. Это дает точную характеристику роста показательной функции, о котором мы имели уже случай говорить [ср. 65].

7° Логарифмическая функция: . В этом случае

Воспользуемся пределом, вычисленным в 77 [5) (а)]:

В частности, для натурального логарифма получается исключительно простой результат:

Это дает (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочтения, которое оказывается натуральным логарифмам при теоретических исследованиях.

То обстоятельство, что скорость возрастания логарифмической функции (при обратно пропорциональна значению аргумента и, оставаясь положительной, стремится к нулю при безграничном возрастании аргумента, хорошо согласуется со сказанным по этому поводу раньше [65].

8° Тригонометрические функции. Пусть тогда

Пользуясь непрерывностью функции и известным [54, (8)] пределом получим

Аналогично найдем:

В случае имеем

Отсюда, как и выше,

Аналогично,