216. Ранг матрицы Якоби.

Переходя к общему случаю, введем следующее определение. Назовем рангом матрицы Якоби (19) (в области наивысший из порядков определителей, образованных из элементов этой матрицы и не обращающихся в нуль тождественно Может, конечно, случиться, что все элементы матрицы (19) тождественно обращаются в нуль; тогда говорят, что ранг матрицы есть 0; но этот случай не представляет интереса, ибо здесь попросту все функции сводятся к постоянным [183]. Если ранг матрицы (19) есть то существует хотя бы один определитель порядка, составленный из элементов матрицы (это, конечно, предполагает и не равный в тождественно нулю, в то время как все определители порядка выше (если таковы имеются) тождественно равны нулю. Говорят, что ранг достигается в некоторой точке области, если, упомянутый определитель порядка именно в этой точке отличен от нуля.

Теорема II. Пусть ранг матрицы Якоби в области §) есть и достигается он в точке

этой области. Тогда в некоторой окрестности названной точки функций из числа наших (именно те, производные которых входят в определитель порядка, не равный нулю в точке будут независимы, а остальные от них зависят.

Доказательство. Без умаления общности можно предположить, что в точке отличен от нуля именно определитель

Ввиду непрерывности частных производных, то же будет и в некоторой окрестности упомянутой точки, и, следовательно, по теореме I, функции будут в этой окрестности независимы.

Обозначим теперь через значения этих функций в точке На основании теоремы IV п° 208 в некотором -мерном параллелепипеде

первые из уравнений (17)

определяют как однозначные функции от остальных переменных фигурирующих в этих уравнениях

В упомянутой области системы уравнений (24) и (25) оказываются вполне равносильными, т. е. удовлетворяются одними и теми же значениями переменных Из самой теоремы, на которую мы опирались, следует, что, если вместо подставить в (24) функции (25), то получатся тождества относительно Но для нас сейчас важно и другое: если вместо подставить в (25) функции то получатся тождества относительно переменных - по крайней мере в некоторой окрестности точки Именно, достаточно выбрать эту окрестность

так, чтобы было

и, кроме того, чтобы для ее точек значения определяемые из (24), т. е. значения отличались от соответственно, меньше, чем на Действительно, тогда точка попадает в и одновременно с равенствами (24) должны выполняться и равенства (25).

Возьмем теперь (если любую из остальных функций (17), например и докажем, что она зависит от первых функций в равенство вместо подставить функции (25), то представится в виде (сложной) функции от

На основании сделанного выше замечания, если в это равенство вместо подставить, соответственно, функции оно удовлетворится тождественно относительно в области

Для того, чтобы убедиться в зависимости функции от функций остается лишь доказать, что функция в (27) на деле аргументов не содержит. С этой целью достаточно установить, что - тождественно относительно - будет:

[ср. n° 183]. Остановимся для примера на первом равенстве; остальные доказываются аналогично.

Продифференцируем по уравнения (24), считая функциями (25) от мы получим равенства:

линейные относительно величин

Из этих линейных равенств, как следствие, вытекает линейное равенство

потому что определитель порядка, составленный из коэффициентов при упомянутых величинах и из свободных членов во всех равенствах (27) и (27, т. е. определитель:

тождественно равен нулю (ведь ранг матрицы (19) есть Но левая часть равенства (27, по самому определению (26) функции , представляет производную Таким образом, ввиду (27), эта производная действительно равна нулю.

Итак, в функции аргументы могут быть опущены: зависит лишь от .

В примере 1), 215, матрица Якоби имеет вид

Если к элементами третьей строки прибавить, соответственно, элементы второй, умноженные на то получится строка, состоящая (подобно первой) из равных элементов. Отсюда ясно уже, что все определители третьего порядка - нули. Ранг матрицы равен двум, и действительно - две функции из трех независимы, а третья зависит от этих двух.

Аналогично сказанное применяется и к примеру 2), 215.

В заключение заметим, что возможны случаи, когда в одной части рассматриваемой области имеет место одна зависимость между функциями, а в другой осуществляется другая зависимость, или же функции оказываются независимыми и т. п.

3) Пусть, например, функции от двух независимых переменных определяются на плоскости следующими равенствами:

Легко проверить, что эти функции непрерывны вместе со своими производными на всей плоскости.

В данном случае ранг матрицы Якоби равен двум для первого координатного угла, единице - для второго и четвертого углов и, наконец, нулю - для третьего. Лишь в первом координатном угле функции независимы.