182. Примеры.

1) Рассмотрим степенно-показательную функцию

Положив и продифференцировав по только что выведенному правилу дифференцирования сложной функции, получим известную уже нам формулу Г. В. Лейбница и И. Бернулли:

Раньше мы установили ее (в других обозначениях) с помощью искусственного приема [99, 23)].

2) Пусть имеет непрерывные частные производные, и вместо х, у и z подставлено:

Тогда

3) Если (при тех же предположениях относительно функции сохраняя х независимой переменной, положить

где функции дифференцируемы по х, то и, как сложная функция от х, будет иметь производную:

или

Здесь само x играет роль переменной t в формуле (8).

4) Если же обе переменные х, у оставить независимыми, а вместо z подставить функцию

имеющую частные производные по и по у, то для сложной функции будем иметь:

5) В качестве дальнейшего примера применения формулы (9) рассмотрим вопрос о дифференцировании определителя

в предположении, что элементы его суть функции от некоторого параметра t, для которых существуют производные по

Вспоминая разложение определителя по элементам столбца

где алгебраические дополнения элемента не содержат, приходим к заключению, что

В таком случае, по формуле (9),

Заметим, что сумма дает разложение определителя, отличающегося от данного лишь тем, что элементы его столбца заменены их производными по . Отсюда правило: производная определителя А равна сумме определителей, получающихся из А заменой, поочередно, элементов его столбца производными.

Формула (8) сходна с формулой для случая функции и от одной переменной Подчеркнем, однако, снова разницу в условиях, при которых были выведены эти формулы. Если и зависит от одной переменной, то достаточно было предположить существование производной их; в случае же нескольких переменных - мы вынуждены были предположить еще и непрерывность производных их, Следующие примеры показывают, что одного существования этих производных для действительности формулы (8) вообще недостаточно.

6) Определим функцию полагая:

Эта функция, как мы видели, имеет частные производные во всех точках, не исключая и начальной (0, 0), причем

заметим, что именно в этой точке производные терпят разрыв.

Если ввести новую переменную t, положив то получим сложную функцию от По формуле (8) производная этой функции при была бы равна

Но, с другой стороны, если на деле подставить значения х и у в данную функцию получим

Продифференцировав теперь непосредственно по t, будем иметь при любом значении t, значит и при

Оказывается, что формула (8) в данном случае неприменима.

7) Поведение функции и определяемой равенствами

в точке (0, 0) вполне аналогично. Взяв здесь получим сложную функцию которая при имеет бесконечные односторонние производные. Если же положить:

то сложная функция, определяемая равенствами:

при никакой производной иметь не будет.