140. Задачи.

Изложим теперь, в виде примеров, ряд задач из разных областей, решение которых приводится именно к разысканию наибольшего или наименьшего значения функции. Впрочем, чаще всего интерес представляют не столько сами эти значения, сколько те точки (те значения аргумента), которые доставляют их функции.

1) Из квадратного листа жести со стороною а, вырезая по углам равные квадраты и сгибая края (рис. 65), составляют прямоугольную открытую коробку. Как получить коробку наибольшей вместимости?

Рис. 65.

Если сторону вырезаемого квадрата обозначить через х, то объем у коробки выразится так: причем х изменяется в промежутке Вопрос привелся к нахождению наибольшего значения функции у в этом промежутке.

Так как производная между — имеет единственный корень то убедившись в том, что это значение доставляет функции максимум, одновременно получаем и искомое наибольшее значение. Или иначе: при имеем в то время как граничные значения у равны 0; следовательно, при действительно, получается наибольшее значение для у.

2) Дано бревно с круглым сечением диаметра Требуется обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением наибольшей прочности.

Указание. В сопротивлении материалов устанавливается, что прочность прямоугольной балки пропорциональна, произведению где - основание прямоугольника в сечении балки, его высота.

Так как то речь идет о наибольшем значении для выражения причем «независимая переменная» изменяется в промежутке .

Производная обращается в нуль лишь однажды внутри этого промежутка, в точке Вторая производная следовательно, в указанной точке достигается максимум, а с ним и наибольшее значение.

При будет так что Из рис. 66 видно, как построить требуемый прямоугольник (диаметр разделен на три равные части, в точках деления восставлены перпендикуляры). В строительном деле обычно предписывается отношение это и есть приближенное значение

Рис. 66.

Рис. 67.

3) Вокруг полушара радиуса описать прямой круговой конус наименьшего объема; при этом предполагается, что основания полушара и конуса лежат в одной плоскости и концентричны (рис. 67).

Здесь нужно еще рационально выбрать независимую переменную; пусть ею будет угол при вершине конуса. При обозначениях чертежа будем иметь так что объем конуса

Для того чтобы объем имел наименьшее значение, очевидно, нужно, чтобы выражение , стоящее в знаменателе, получило свое наибольшее значение, при изменении в промежутке Имеем

между производная обращается в нуль лишь при (что отвечает меняя при этом знак плюс на минус. Этот угол доставляет выражению у наибольшее значение, а объему — наименьшее.

4) Груз веса лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут приложенной к нему силой (рис. 68). Под каким углом к горизонту - при наличии трения - надлежит приложить эту силу, чтобы величина ее была наименьшей. Коэффициент трения дан.

Рис. 68.

Указание. Трение считается пропорциональным силе, прижимающей тело к плоскости (закон Кулона), и направлено против движения. Множитель пропорциональности и есть «коэффициент трения».

Определим силу которая соответствует данному углу . Разлагая ее по горизонтальному и вертикальному направлениям, получим для составляющих величины в и Сила, прижимающая тело к плоскости, будет так что, по закону Кулона, трение горизонтальная составляющая тянущей силы как раз и должна уравновешивать его трение:

откуда

Речь идет о разыскании наименьшего значения этой функции - наибольшего значения функции - при изменении в в промежутке Производная обращается в нуль, если или этот угол называется «углом трения». Так как то прилагать силу под углом трения оказывается наиболее выгодно. Например, если нужно сдвинуть камень по деревянному настилу, то

5) Известно, что стоимость плавания судна в течение часа выражается в рублях эмпирической формулой где - постоянные, которые должны быть установлены отдельно для каждого судна, а - скорость судна в узлах При какой скорости («экономической») судно покроет любое расстояние с наименьшими затратами?

На покрытие 1 км потребуется часа, соответствующие затраты выразятся формулой

Приравнивания нулю производную выражения получим откуда Так как то при найденном значении затраты действительно достигают наименьшей величины.

Численный пример: (узлов).

6) Пусть электрическая лампочка может передвигаться (например, на блоке) по вертикальной прямой (рис. 69). На каком расстоянии от горизонтальной плоскости ее следует поместить, чтобы в точке А этой плоскости получить наибольшую освещенность?

Указание. Освещенность пропорциональна и обратно пропорциональна квадрату расстояния т. е.

где с зависит от силы света лампочки.

Рис. 69.

Если за независимую переменную выбрать то

и

Далее, производная

обращается в нуль при а, меняя знак при переходе через это значение с плюса на минус. Это и есть наивыгоднейшее расстояние.

Можно выбрать за независимую переменную угол тогда

и дело сводится к разысканию наибольшего значения для функции в промежутке Но мы уже знаем [см. задачу 3)], что это наибольшее значение достигается при угле для которого Для расстояния А получаем прежнее значение

Рис. 70.

7) Из точки А, находящейся на железнодорожной магистрали (рис. 70), грузовой поток направляется в точку С, отстоящую на расстояние от линии железной дороги. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния есть - по железной дороге и - при гужевой транспортировке. К какой точке М следует провести шоссе чтобы провоз груза из А в С (по линии был возможно дешевле?

При обозначениях чертежа стоимость провоза весовой единицы груза - при произвольном положении точки М - оказывается равной

Имеем

Если то это выражение сохраняет знак минус, не обращаясь вовсе в нуль. Функция у убывает с возрастанием х от 0 до и, очевидно, достигает своего наименьшего значения при . В этом случае всего выгоднее начинать шоссе непосредственно у точки А.

То же справедливо и при , если только одновременно

Действительно, при выражение

имеет единственный корень

Но при сделанном предположении этот корень оказывается леисащим вне допустимого для х промежутка изменения (или на конце его), так что внутри промежутка производная оказывается отрицательной.

Лишь в том случае, если упомянутый корень будет это значение х определяет положение точки М между А и В, при котором расходы по перевозке будут наименьшими.

Замечание. Пользуемся случаем обратить внимание читателя на следующее обстоятельство. При разыскании наибольшего или наименьшего значения функции для определенного промежутка изменения аргумента легко может оказаться, что внутри этого промежутка вовсе нет корней производной (или других «подозрительных» значений). Это свидетельствует о том, что в рассматриваемом промежутке функция оказывается монотонно возрастающей или убывающей и, следовательно, достигает как наибольшего, так и наименьшего своего значения на концах промежутка.

В последней задаче при определенных соотношениях между входящими в нее величинами как раз и осуществляется подобное положение.