§ 4. Раскрытие неопределенностей

150. Неопределенность вида 0/0.

Мы применим теперь понятие производной и доказанные в §§ 3, 5 предшествующей главы теоремы для раскрытия неопределенностей. Последующие теоремы 1 - 4 в основном принадлежат Лопиталю (G. F. de l’Hospitale) и И. Бернулли (Joh. Bernoulli). Высказанное в них правило

обычно называют правилом Лопиталя. Сначала мы займемся основным случаем неопределенности вида т. е. исследуем вопрос о пределе отношения двух функций стремящихся к нулю (при определенном предельном переходе

Начнем с простой теоремы, непосредственно использующей самое понятие производной.

Теорема 1. Пусть: 1) функции определены в промежутке существуют конечные производные причем Тогда

Доказательство. Существование конечных производных обеспечивает непрерывность функций в точке а. В силу 2) имеем: Ввиду того, что по лемме п° 109, для значений х, достаточно близких к а; ими мы и ограничимся, так что отношение — имеет смысл.

Теперь это отношение можно переписать в виде

Переходя здесь к пределу при и получим требуемый результат. Примеры. 1) Найти предел

По теореме он равен вычисленному при отношению производных

2) Найти предел

Он равен

В том случае, когда одновременно можно воспользоваться следующим обобщением теоремы 1, привлекающим к рассмотрению производные высших порядков:

Теорема 2. Пусть: 1) функции определены в промежутке , 2) , 3) в промежутке существуют конечные производные всех порядков до включительно при они все обращаются в 0, 5) существуют конечные производные причем Тогда

Доказательство. Приложим к каждой из функций в промежутке формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано [см. 124, (10а)]. Ввиду 2), 3) и 4), получим

где

Второе из этих равенств, вследствие условия прежде всего показывает, что отлично от нуля, по крайней мере, для значений х, достаточно близких к а. Если этими значениями ограничиться, то отношение имеет смысл.

Тогда из написанных равенств непосредственно и получается требуемый результат:

Пример. 3) Найти предел

Здесь имеем:

Следовательно, искомый предел равен 2.

Хотя в большинстве случаев для раскрытия неопределенности вида уже достаточно доказанных теорем, но на практике обычно удобнее следующая

Теорема 3. Пусть: 1) функции определены в промежутке в промежутке существуют конечные производные причем и наконец, 4) существует (конечный или нет) предел

Тогда и

Доказательство. Дополним определение функций положив их при равными нулю: Тогда эти функции окажутся непрерывными во всем замкнутом промежутке их значения в точке а совпадают с пределами при [ввиду 2)], а в прочих точках непрерывность вытекает из существования конечных производных [см. 3)]. Применяя теорему Коши [114], получим

где обстоятельство, что есть следствие предположения: как это было установлено при выводе формулы Коши.

Когда очевидно, и так что, в силу 4),

что и требовалось доказать.

Таким образом, доказанная теорема сводит предел отношения функций к пределу отношения производных, если последний существует. Часто оказывается, что нахождение предела отношения производных проще и может быть осуществлено элементарными приемами.

Пример. 4) Найти предел

Отношение производных последовательно упрощается:

при оно, очевидно, стремится к 2. Таков же будет, согласно теореме, и искомый предел.

Теорема 1 в этом случае была бы неприложима, ибо при производные числителя и знаменателя обе равны 0. Что же касается теоремы 2, то, хотя с ее помощью задача могла бы быть разрешена, но для этого потребовалось бы (в чем легко убедиться) вычислить три последовательных производных от заданных функций.

Обращаем внимание читателя на то, что здесь и отношение производных снова представило неопределенность вида но раскрыть эту неопределенность оказалось возможным путем элементарных преобразований. В других случаях может понадобиться применить теорему повторно. Важно подчеркнуть, что при этом допустимы всякие упрощения получаемых выражений, сокращение общих множителей, использование уже известных пределов и т. п. (Всего этого делать нельзя, если применяется теорема ) В следующем примере теорема 3 применяется последовательно три раза; после первого мы сокращаем на а после второго - отбрасываем множитель в знаменателе (ибо он стремится к 1). Этим выкладки упрощаются.

Примеры.

Так как первый множитель справа стремится к то достаточно заняться вторым множителем. С помощью двухкратного применения теоремы 3 найдем, что предел его равен

Теорема 3 легко распространяется на случай, когда аргумент х стремится к бесконечному пределу: (этого, разумеется, нельзя сделать в отношении теорем 1 и 2). Именно, имеет место, например, Теорема 3. Пусты 1) функции определены в промежутке где 3) существуют в промежутке конечные производные причем и, наконец, 4) существует (конечный или нет) предел Тогда и

Доказательство. Преобразуем переменную х по формуле Тогда, если то , и обратно. Ввиду 2), имеем

а в силу 4),

К функциям и от новой переменной t можно применить теорему 3, что даст нам

а тогда и

Замечание. Иногда при раскрытии неопределенностей рассматриваемого вида можно обойтись формально без применения указанных выше теорем, используя разложения функций по формуле Тейлора [124-125]. Пусть (к этому случаю всегда можно свести дело). Если с помощью известных разложений удается выделить из числителя и знаменателя главные члены:

то становится сразу ясен предел дроби он равен нулю, или смотря по тому, будет ли больше, равно или меньше . [Ср. 62, 63.]

Так, в примере 1) имеем, заменяя функции несколькими первыми членами их разложений:

Аналогично в примере 4):

Предлагается, в виде упражнения, тем же методом решить примеры 3) и 5).