142. Простейшие предложения о выпуклых функциях.

1°. Произведение выпуклой функции на положительную постоянную есть выпуклая функция.

2°. Сумма двух или нескольких выпуклых функций тоже выпукла. В обоих случаях доказательство сразу получается из определения.

Замечание. Произведение двух выпуклых функций может не оказаться выпуклой функцией. Пример тому будет дан ниже (в сноске на стр. 300).

3° Если есть выпуклая и притом возрастающаяся функция, также выпукла, то и сложная функция будет выпуклой.

Действительно, ввиду выпуклости [см. (1)] и возрастания имеем

а в силу выпуклости последнее выражение не превосходит так что окончательно получаем неравенство

которое и представляет собой соотношение типа (1) для функции

Предлагаем читателю доказать аналогичные утверждения, содержащиеся в таблице:

4°. Если суть однозначные взаимно обратные функции (в соответствующих промежутках), то одновременно

Пусть, например, в первой строке из предположения относительно мы хотим вывести заключение относительно Положим

Имеем, по основному неравенству (1)

Так как, по теореме об обратной функции [83], функция также будет возрастающей, то

что и доказывает вогнутость функции [см. (1а)].

5°. Выпуклая в промежутке X функция отличная от постоянной, не может достигать наибольшего значения внутри этого промежутка.

Допустим противное: пусть функция достигает наибольшего значения во внутренней точке промежутка. Так как функция отлична от постоянной, то эту точку можно заключить в такой промежуток

чтобы хоть на одном из концов значение функции было строго меньше, чем в точке Пусть, скажем,

Полагая умножим обе части первого неравенства на а второго на и сложим. Мы получим

что противоречит выпуклости функции Этим наше утверждение доказано.

6°. Если промежуток где содержится в промежутке X, в котором функция выпукла, то соотношение (1) выполняется либо всегда со знаком равенства, либо всегда со знаком неравенства.

Возвращаясь к обозначениям рис. 71, геометрически это можно выразить так: дуга либо сливается с хордой либо же (за исключением концов) вся лежит под хордой.

Для доказательства рассмотрим линейную функцию (3), которая в точках принимает те же значения, что и функция для краткости обозначим эту функцию через Разность

ввиду выпуклости функций тоже будет выпуклой Тогда либо в промежутке либо этого нет. В первом случае в этом промежутке, т. е. дуга сливается с хордой, и соотношение (1) выполняется всегда со знаком равенства. Во втором случае во всем промежутке должно быть ибо, если бы функция у принимала в этом промежутке и неотрицательные значения, то она достигала бы своего наибольшего в промежутке значения внутри этого промежутка, что для отличной от постоянной выпуклой функции невозможно Итак, внутри промежутка кривая лежит под хордой, и соотношение (1) выполняется всегда со знаком неравенства.

Если для любого промежутка содержащегося в X, соотношение (1) выполняется со знаком неравенства, мы будем функцию называть строго выпуклой. Аналогично устанавливается понятие строго вогнутой функции. Эта терминология применяется одновременно и к кривой