112. Формула Лагранжа.

Обратимся к непосредственным следствиям теоремы Ролля.

Теорема Лагранжа. Пусть определена и непрерывна в замкнутом промежутке существует конечная производная по крайней мере, в открытом промежутке Тогда между а и найдется такая точка с что для нее выполняется равенство

Доказательство. Введем вспомогательную функцию, определив ее в промежутке равенством:

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в так как представляет собой разность между непрерывной функцией и линейной функцией. В промежутке она имеет определенную конечную производную, равную

Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что принимает равные значения на концах промежутка.

Следовательно, к функции можно применить теорему Ролля и утверждать существование в такой точки с, что Таким образом,

откуда

Рис. 51.

Доказанную теорему называют также теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении).

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа; замечания относительно условий 1) и 2) теоремы, сделанные выше, сохраняют свою силу и здесь.

Обращаясь к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа (рис. 51), заметим, что отношение

есть угловой коэффициент секущей есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге всегда найдется, по крайней мере, одна точка М, в которой касательная параллельна хорде

Доказанная формула

носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений. Она, очевидно, сохраняет силу и для случая а

Возьмем любое значение в промежутке и придадим ему приращение не выводящее его за пределы промежутка. Применим

формулу Лагранжа к промежутку при или к промежутку при Число с, заключенное в этом случае между можно представить так:

Тогда формула Лагранжа примет вид:

или

Это равенство, дающее точное выражение для приращения функции при любом конечном приращении аргумента, естественно противопоставляется приближенному равенству

относительная погрешность которого стремится к нулю лишь при бесконечно малом Отсюда проистекает и самое название «формула конечных приращений».

К невыгоде формулы Лагранжа - в ней фигурирует неизвестное нам число (или с). Это не мешает, однако, многообразным применениям этой формулы в анализе.