148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты.

Полезно расширить класс рассматриваемых функций в двух направлениях. Во-первых, мы допустим теперь для функции возможность обращаться в бесконечность для отдельных значений х. Это значит, - если есть одно из таких значений, что, при приближении с той или с другой стороны, стремится к или к Во-вторых, нас может интересовать поведение функции бесконечном промежутке.

Так как размеры чертежа, разумеется, конечны, то в обоих этих случаях приходится довольствоваться частью всего графика. За пределами

чертежа стараются оставить такие части графика, о виде которых легко наперед составить себе представление, исходя из того, что начерчено.

Остановимся на случае бесконечного разрыва функции, скажем, при При приближении с одной стороны функция стремится к бесконечности (того или иного знака) монотонно если, по крайней мере, в конечной части промежутка - производная лишь конечное число раз меняет знак. С разных сторон от (если не есть конец промежутка) функция может иметь пределы и разных знаков. Во всяком случае, график будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к вертикальной прямой в верхней или в нижней его части, смотря по знаку бесконечного предела. Эта прямая позволяет отчетливо представить себе вид графика и за пределами чертежа (рис. 76). Примерами могут служить и уже известные нам графики функций при (рис. 10), при (рис. 16), при (рис. 14).

Рис. 76.

В случае бесконечного (в одну сторону или в обе) промежутка, подобную же услугу иногда оказывает горизонтальная или наклонная прямая, к которой график приближается безгранично. В связи с этим, дадим следующее общее определение.

Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Только что мы имели дело с вертикальными асимптотами; теперь займемся асимптотами горизонтальными и наклонными - все время для кривой, заданной уравнением

Примеры горизонтальных асимптот нам уже встречались: для кривой - прямая при (рис. 10), для кривой прямые соответственно, при (рис. 21), для кривой - прямая при если и при если 1 (рис. 13),

Для того чтобы, например, при прямая служила асимптотой для кривой очевидно (рис. 77), необходимо и достаточно, чтобы было

Таким образом, вопрос о горизонтальной асимптоте сводится попросту к вопросу об этом пределе.

Рис. 77.

Рис. 78.

Отдельно нужно искать подобный предел и при - при этом (как, например, в случае кривой может получиться и другая асимптота.

Переходя к наклонным асимптотам, упомянем, что примерами их могут служить известные читателю из аналитической геометрии асимптоты гиперболы

(см. также рис. 7).

Предположим теперь, что кривая имеет наклонную асимптоту

(рис. 78), скажем, со стороны положительной части оси х. Так как разность ординат лишь постоянным множителем (равным косинусу угла между асимптотой и осью разнится от расстояния то при одновременно с должна стремиться к нулю и эта разность:

Разделив на х, получим отсюда:

кроме того, равенство (3) непосредственно дает

Итак, для того чтобы прямая (2) была асимптотой для данной кривой, необходимо выполнение условий (4) и (5). Обратное рассуждение легко покажет и их достаточность. Вопрос здесь свелся к последовательному разысканию пределов (4) и (5), которыми уже и определятся коэффициенты уравнения прямой (2). Разумеется, для нужно повторить все исследование. Например, в случае гиперболы (1), считая имеем

затем,

и мы приходим к известным уже нам асимптотам:

Возвращаясь к задаче о проведении графика функции, теперь мы добавим к сказанному в предыдущем п° в пунктах 1), 2), 3), что следует еще:

4) определить значения х, обращающие функцию в бесконечность, с учетом знака, и построить соответствующие вертикальные асимптоты;

5) найти горизонтальную или наклонную асимптоту графика (и притом отдельно при и при если промежуток бесконечен в обе стороны).

Обратимся снова к примерам.