§ 2. Неявные функции
205. Понятие неявной функции от одной переменной.
Предположим, что значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены его перенести налево, в общем случае имеет вид
Здесь 
есть функция двух переменных, заданная в какой-либо области. Если для каждого значения х - в некотором промежутке - существует одно или несколько значений у, которые совместно с х удовлетворяют уравнению (1), то этим определяется, однозначная или многозначная, функция 
для которой равенство
имеет место уже тождественно относительно х.
Возьмем, например, уравнение
оно, очевидно, определяет у как двузначную функцию от х в промежутке 
, именно
И, если вместо у подставить в уравнение (1а) эту функцию, то получится тождество.
Здесь удалось найти для у очень простое аналитическое выражение через х, даже в элементарных функциях. Так обстоит дело далеко не всегда. Если взять уравнение
которое нам уже встречалось [при других лишь обозначениях переменных, 83], то мы знаем, что этим уравнением у определяется как однозначная функция от х, хотя в конечном виде она через элементарные функции и не выражается.
Функция 
называется неявной, если она задана при посредстве неразрешенного (относительно 
уравнения (1); она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х. Читателю ясно, что эти термины характеризуют лишь способ задания функции 
и не имеют отношения к ее природе. [Строго говоря, противопоставление неявного и явного задания функции с полной четкостью возможно лишь, если под явным заданием разуметь явное аналитическое задание; если же, в качестве явного, допускать задание с помощью любого правила [45], то задание функции у от х с помощью уравнения (1) ничем не хуже всякого другого.]
В простейшем случае, когда уравнение (1) - алгебраическое, т. е. когда функция 
есть целый относительно х и у многочлен, определяемая им неявная функция у от х (вообще многозначная) называется алгебраической. Если степень уравнения (относительно 
не выше четырех, то алгебраическая функция допускает явное выражение в радикалах, при степени выше четырех такое выражение возможно лишь в виде исключения.
Сейчас нас будет интересовать лишь вопрос о существовании и однозначности теявнот функции (равно как и о других ее свойствах), независимо от возможности представить ее в «явном» виде аналитической формулой. Впрочем, в этой постановке вопрос для нас не нов; с частным случаем его мы имели дело, когда речь шла о существовании и о свойствах обратной функции, и уравнением
переменная х определялась как «неявная» функция от у.
Поучительна геометрическая трактовка указанного вопроса. Уравнение (1), при известных условиях, выражает кривую на плоскости [например, уравнение (1а), как известно, выражает эллипс (рис. 111)]; в этом случае оно называется неявным уравнением кривой. Вопрос заключается в том, может ли кривая (1) (или ее часть) быть выражена обычным уравнением вида 
с однозначной функцией справа; геометрически это означает, что кривая (или ее часть) пересекается прямой, параллельной оси у, лишь в одной точке.
Если мы желаем иметь однозначную функцию, то как видно на примере того же эллипса, нужно ограничить не только область изменения х, но и область изменения у.
Мы будем говорить, для краткости, что в прямоугольнике 
уравнение (1) определяет у как однозначную
функцию от х, если при каждом значении х в промежутке 
уравнение (1) имеет один, и только один, корень у в промежутке 
Рис. 111.
Обычно нас будет интересовать определенная точка 
удовлетворяющая уравнению (1) (лежащая на кривой), и в роли упомянутого прямоугольника будет фигурировать окрестность этой точки. Так, например, в случае эллипса (рис. 111), очевидно, можно утверждать, что уравнение (1а) определяет ординату у как однозначную функцию от абсциссы х в достаточно малой окрестности любой точки эллипса, кроме вершин его 
на большой оси.
