49. Понятие обратной функции.
Прежде чем перейти к обратным тригонометрическим функциям, сделаем пояснение относительно обратных функций вообще.
Предположим, что функция 
задана в некоторой области 
и пусть У будет множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в пределах области 
. (В нашей практике как 
так и 
обычно будут представлять собою промежутки.)
Выберем какое-нибудь значение 
из области 
тогда, в области необходимо найдётся такое значение 
при котором наша функция принимает именно значение 
так что
подобных значений может оказаться и несколько. Таким образом, каждому значению 
из 
ставится в соответствие одно или несколько значений 
этим определяется в области 
однозначная или многозначная функция 
которая и называется обратной для функции 
Рассмотрим примеры: 
Пусть 
где х изменяется в промежутке 
Значения у заполняют промежуток 
причём каждому у из этого промежутка отвечает, как мы знаем [20], в 
одно определённое 
В этом случае обратная функция оказывается однозначной.
2) Наоборот, для функции 
если х изменять в промежутке 
обратная функция будет двузначной: каждому значению у из промежутка 
отвечают два значения 
из Вместо этой двузначной функции обычно рассматривают раздельно две однозначные функции 
(«ветви» двузначной функции). Их можно порознь также считать обратными для функции 
в предположении лишь, что область изменения х ограничена, соответственно, промежутком 
или промежутком 
3) Аналогично, если взять 
где областью изменения х снова является промежуток 
то решая уравнение
относительно 
найдём 
два значения
откуда
Снова — двузначная функция, которая распадается на две однозначные ветви, отвечающие порознь изменению х от 0 до 
и от — 
до 0.
4) Если же 
то — при любом у — из уравнения
найдём лишь одно значение для 
так как второе значение — с минусом при корне, как отрицательное, невозможно и должно быть отброшено. Отсюда
так что здесь обратная функция однозначна.
Заметим, что по графику функции 
легко сообразить, будет ли обратная для неё функция 
однозначной или нет. Первый случай представится, если любая прямая, параллельная оси х, пересекает этот график разве лишь в одной точке. Наоборот, если некоторые из таких прямых пересекают график в нескольких точках, обратная функция будет многозначной. В этом случае по графику же легко разбить промежуток изменения х на части так, чтобы каждой части уже отвечала однозначная «ветвь» этой функции. Например, по одному взгляду на параболу черт. 4, которая служит графиком функции 
ясно, что обратная ей функция двузначна и что для получения однозначных «ветвей» достаточно раздельно рассматривать правую и левую части этой параболы, т. е. положительные и отрицательные значения х.
Если функция 
является обратной для функции 
то, очевидно, графики обеих функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой х, т. е. вместо функции 
рассматривать 
. Тогда лишь придется горизонтальную ось назвать осью у, а вертикальную 
осью 
график всё ещё останется прежним. Если же пожелать,
чтобы (новая) ось х была бы, как привычно, горизонтальной, а (новая) ось у— вертикальной, то эти оси нужно будет переставить одну на место другой, что уже изменит и график. Для осуществления этого проще всего повернуть плоскость чертежа 
на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла (черт. 19).
Черт. 19.
Таким образом, график 
получается как зеркальное отражение графика 
относительно этой биссектрисы. По черт. 13 и 14, например, сразу видно, что они именно так получены один из другого. Точно так же, исходя из высказанных соображений, легко объяснить симметричность (относительно биссектрисы) каждого из черт. 11 и 12.
