ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ

257. Случай функции одной переменной.

Рассмотрим функцию определенную в некотором (конечном или бесконечном) промежутке X или - более обще - в области X, состоящей из конечного числа отдельных таких промежутков. Если функция непрерывна в X и имеет в этой области непрерывные же производные до порядка включительно то говорят, что она в области X принадлежит классу

Отметим при этом, что если конец какого-либо из промежутков включен в его состав, то по отношению к этой точке имеются в виду односторонние производные.

Пусть же функция в некоторой области X, не охватывающей всей числовой оси, принадлежит классу Предположим, что в какой-либо области X, налегающей на X, существует функция тоже класса которая в общей части областей совпадает с тогда эта функция осуществляет распространение функции на X с сохранением класса.

Всегда ли возможно такое распространение функций на более широкую область? На этот вопрос отвечает следующая

Теорема. Любую функцию класса в замкнутой области X можно распространить на всю числовую ось с сохранением класса.

Покажем, что здесь распространение осуществляется просто с помощью целых многочленов. С этой целью сделаем предварительно следующие замечания.

Как мы видели в 123, многочлен степени

в точке вместе со своими производными, принимает, соответственно, именно значения

Пусть, далее, требуется построить такой многочлен, который, удовлетворяя по-прежнему условиям, относящимся к точке кроме того, принимал бы, вместе со своими производными, в некоторой другой точке наперед заданные значения . Возьмем искомый многочлен в виде

где есть многочлен (1), а многочлен степени еще подлежит определению. Как бы ни выбирать многочлен (2) в точке во всяком случае удовлетворяет поставленным условиям. Продифференцируем многочлен (2) последовательно раз и подставим в этот многочлен и его производные приравняв полученные выражения, соответственно, мы придем к системе линейных уравнений относительно из которых эти значения последовательно и определятся. По ним же, пользуясь формулой, аналогичной (1), уже нетрудно восстановить

Обратимся теперь к доказательству высказанного утверждения. Пусть, в общем случае, область X состоит из замкнутых промежутков перенумерованных слева направо. Полагая в этих промежутках функцию дополним ее определение следующим образом. Если левый конец промежутка есть конечное число, то для , положим равной многочлену вида (1), при

Аналогично распространяется функция и направо от если только правый конец этого промежутка есть конечное число. Наконец, для промежутка отделяющего от отождествим с таким многочленом, который вместе со своими производными в обеих точках принимает те же значения, что и функция и ее производные. Нетрудно видеть, что определенная так функция и осуществляет требуемое распространение на всю область

258. Постановка задачи для двумерного случая.

Положение вещей сразу усложняется при переходе к функциям нескольких переменных. Мы ограничимся в дальнейшем случаем функции двух переменных. Результаты, которые для этого случая будут установлены, переносятся и на общий случай любого числа переменных.

Мы будем рассматривать области в двумерном пространстве, разумея под этим либо открытую область, либо же открытую с присоединением к ней части ее границы или же всей границы (в последнем случае область будет замкнутой).

При распространении на рассматриваемый случай определения функций класса мы сталкиваемся с своеобразным затруднением. Дело в том, что в точке, лежащей на границе области,

может оказаться просто неприложимым самое определение частной производной того или иного типа. Например, если область есть замкнутый круг то в точках (0, ±1) нельзя говорить о частной производной по х, ибо при значению нельзя придать никакого приращения, чтобы сразу же не выйти за пределы области, где задана функция; аналогично, в точках не имеет смысла частная производная по у.

Говоря о частной производной (определенного порядка и типа), непрерывной в области мы условимся в граничной точке области разуметь под этой производной лишь предельное значение, к которому стремится одноименная производная, вычисленная во внутренней точке М, при стремлении М к — независимо от того, будет ли оно на деле играть роль производной или нет.

Из дальнейшего изложения впоследствии выяснится, что упомянутое предельное значение - в широком классе случаев - будет вместе с тем и настоящей производной, если только положение точки относительно области позволяет вообще говорить о производной рассматриваемого типа. Впрочем, для простейшего случая прямоугольной области мы этот факт установим уже сейчас.

Рис. 165.

Итак, пусть функция непрерывна вместе со всеми своими производными, до порядка включительно, в некотором прямоугольнике , и точка лежит на отрезке прямой служащем границей этого прямоугольника (рис. 165) и входящем в его состав.

Начнем с производной для которой вопрос исчерпывается просто. По формуле Лагранжа [112] отношение приращений

и при стремится именно к предельному значению которое таким образом оказывается и производной в собственном смысле [ср. 113]. Что же касается производной то соответствующее ей отношение приращений само может быть рассмотрено как предел

Но последнее выражение, снова по формуле Лагранжа, преобразуется к виду

При оно стремится к предельному значению По теореме же п° 168, ввиду существования простого предела при этот двойной предел служит в то же время и повторным пределом:

так что и здесь число определенное лишь как предельное значение производной, является настоящей производной. Сказанное последовательно переносится и на производные высших порядков.

Итак, заключенное выше условие позволяет теперь говорить о непрерывных производных в любой области , как бы ни были расположены по отношению к этой области ее граничные точки (включенные в ее состав). Функция принадлежит классу в двумерной области если она в непрерывна и имеет непрерывные же производные всех типов и всех порядков до включительно. Пусть область не охватывает всей плоскости; если в какой-либо области налегающей на существует функция тоже класса которая в общей части областей совпадает то мы будем говорить, что она дает распространение функции на с сохранением класса. Естественно и здесь поставить вопрос: всегда ли возможно такое распространение на более широкую область, в частности, на всю плоскость? Как мы покажем, на этот вопрос для замкнутой области можно ответить утвердительно, если только ее контур удовлетворяет некоторым простым условиям. Впрочем, для облегчения изложения мы будем всегда предполагать область ограниченной, хотя окончательное утверждение верно и для неограниченной области.

Излагаемые результаты в основном принадлежат Уитнею (Н. Whitney) и Хестинсу (М. R. Hestenes).

259. Вспомогательные предложения.

Для облегчения доказательства основной теоремы установим предварительно некоторые леммы.

Лемма I. Пусть функция будет класса в области , определяемой неравенствами

Тогда существует распространение функции с сохранением класса, на весь прямоугольник

Определим чисел из следующей системы линейных уравнений:

Выполнить это можно, так как определителем системы является так называемый определитель Вандермонда для неравных между собою чисел который, как известно, отличен от 0.

Определим теперь в функцию полагая для и

для . Если есть произвольное значение и из то прежде всего

в силу первого из условий (3), отвечающего Этим установлена непрерывность функции в тех точках прямоугольника , которые лежат на прямой непрерывность ее в остальных точках очевидна. Обратимся теперь к вопросу о существовании и непрерывности производных функции в ; и здесь рассмотрения требуют лишь точки прямой Для всех производных

мы установим предельное равенство

С этой целью продифференцируем равенство раз по , а затем к раз по

и перейдем к пределу при результате, в силу равенства (3), мы и получим (6).

Таким образом, существование единого предельного значения для любой производной (5) как со стороны так и со стороны - обеспечено. Больше того, если за значение производной (5) в точках прямой принять это ее предельное значение, то получится непрерывная во всем § функция. Но точка является для § внутренней точкой, и здесь нам нужна была бы производная в собственном смысле. В этом отношении мы имеем возможность сослаться на доказанное в предыдущем п°: упомянутое предельное значение будет в то же время и настоящей производной.

Функция и осуществляет искомое распространение функции на .

Лемма II. Пусть функция будет класса в некоторой ограниченной открытой области Если каждую точку границы X этой области можно окружить окрестностью, в пределах которой допустимо распространение функции с сохранением класса, то такое распространение возможно и на всю плоскость

Для любой точки М замкнутой области найдется либо окрестность, в которой фунжция определена и принадлежит классу либо же окрестность, на которую может быть распространена с сохранением класса. Эту окрестность можно взять, например, в виде открытого круга с центром М и радиусом Таким образом, вся замкнутая область покрывается не только системой состоящей из этих кругов, а, но и системой состоящей из кругов с втрое меньшими радиусами.

Так как область а с нею и ограничены, то к данному случаю применима лемма Бореля [175], и покроется конечной системой

извлеченной из Здесь

одновременно будем рассматривать и круги

Легко построить функцию класса такую, что

Можно, например, определить - методами п° 257 - функцию класса во всем промежутке - так, чтобы было

а затем положить

С помощью функций составим функции

они также принадлежат классу в Очевидно,

ибо в обращается в нуль множитель - множитель Так как

то

потому что там обращается в нуль множитель

Пусть теперь в совпадает с функцией или с ее распространением, о котором упоминалось выше, а вне пусть в точках в прочих точках. Функция обращается в нуль в - [см. (8)] и, очевидно, во всей плоскости принадлежит классу Положим, наконец, во всех точках

Этим равенством функция определяется во всей плоскости и притом оказывается функцией класса

Возьмем любую точку М из она принадлежит некоторому кругу Так как все и, кроме того, в этой точке [ввиду (9) и (7)]

то . Таким образом, функция и есть искомая.

260. Основная теорема о распространении.

Теперь мы в состоянии доказать и для случая функции двух переменных теорему о распространении, но налагая ограничения на контур области.

Условимся называть гладкой кривой класса простую кривую без особых точек, выражаемую уравнениями

где t изменяется в некотором промежутке в предположении, что функции принадлежат в этом промежутке классу

Теорема I. Если функция принадлежит классу в ограниченной замкнутой области , контур которой состоит из одной или нескольких (непересекающихся) гладких кривых, тоже класса то эта функция может быть распространена на всю плоскость с сохранением класса.

Пусть есть произвольная точка контура для простоты будем считать . Эта точка лежит на одной из кривых, входящих в состав X, и является обыкновенной ее точкой. В таком случае, без умаления общности, можно допустить, что в окрестности точки кривая выражается явным уравнением где - также класса и что область лежит вверх от нее, т. е. (вблизи определяется неравенством (рис. 166, а).

Рис. 166.

Произведем преобразование переменных, полагая

Функция при этом перейдет в функцию

которая оказывается класса вблизи точки именно, для . Тогда, по лемме I, функцию можно распространить с сохранением класса и на значения (все время ограничивалась точками, достаточно близкими к начальной). Если это распространение осуществляется функцией то, возвращаясь к старым переменным, легко видеть, что функция

дает распространение функции на некоторую окрестность точки

На основании леммы II мы можем заключить теперь, что функция , действительно, допускает распространение, с сохранением класса, на всю плоскость

261. Обобщение.

Однако полученный результат для практических надобностей все же недостаточен, поскольку часто приходится иметь дело с областями, контуры которых имеют «угловые точки». Условимся называть кусочно-гладкой кривой класса - кривую, состоящую из нескольких гладких дуг класса примыкающих одна к другой под углами (не равными ни 0, ни

Теорема II. Заключение теоремы I сохраняется, если контур X области состоит из одной или нескольких непересекающихся кусочно-гладких кривых класса

Рис. 167.

Мы уже видели, что любую точку контура X, не являющуюся угловой, можно окружить окрестностью, в пределах которой допустимо распространение функции сохранением класса. Докажем теперь то же относительно угловой точки

И здесь снова можно принять можно, не нарушая общности, предположить также, что смыкающиеся в начале дуги имеют в этой точке касательные, из которых одна совпадает с положительной частью оси х, а другая идет к ней под углом (рис. 167). В таком случае в достаточной близости к началу эти дуги выражаются, соответственно, уравнениями

причем функции и принадлежат обе классу

Прибегнем к замене переменных

Так как якобиан этих функций

в точке обращается в 1, то система (11) в окрестности нулевых значений всех аргументов допускает однозначное обращение:

причем функции также оказываются класса

При из (11) получаем так что положительной части оси и отвечает первая из названных дуг; аналогично убеждаемся в том, что положительной части оси отвечает вторая из дуг.

Рис. 168.

Очевидно, при этом преобразовании две угловые области, на которые этими дугами делится окрестность начальной точки на плоскости отвечают тем двум - «входящему» и «выходящему» - прямым углам, на которые положительными частями осей и делится на плоскости окрестность начальной точки (рис. 168, а и б).

Подставляя в функцию выражения (11), получим преобразованную функцию

определенную и принадлежащую классу в том или другом - смотря по случаю - из упомянутых только что прямых углов.

Если речь идет о «выходящем» угле (рис. 168, а), то, по лемме I, сначала функцию распространяют на IV координатный угол, а затем полученную функцию (меняя роли распространяют уже на II и III углы, т. е. на полную окрестность начала.

Сложнее обстоит дело, если речь идет о «входящем» угле (рис. 168, б). В этом случае поступают так. Прежде всего, опираясь на лемму I (но меняя знак и), распространяют функцию t левой полуплоскости на правую и получают, таким образом, функцию - в полной окрестности начала. Затем рассматривают функцию в нижней полуплоскости и, пользуясь указанным при доказательстве леммы I методом, распространяют ее на верхнюю полуплоскость, что дает функцию - уже в полной окрестности начала. Но в III угле а тогда, по самому характеру помянутого метода, ясно что и во II угле. Если положить теперь в окрестности начала то во II и III углах так что и и в IV угле и опять-таки

Таким образом, построенная функция дает распространение на полную окрестность начала.

С помощью обратного преобразования (12) к старым переменным получается и распространение

функции Доказательство завершается, как и в теореме I, ссылкой на лемму II.

262. Заключительные замечания.

Доказанная теорема о распространении функций имеет многообразные приложения. Мы ограничимся здесь указанием на обобщение с ее помощью ряда локальных, т. е. связанных с окрестностью определенной точки, формул и теорем анализа - на случай, когда упомянутая точка лежит на границе рассматриваемой области, а не внутри нее, как обычно предполагается.

Пусть, например, в замкнутой области ограниченной контуром X (рассмотренного выше типа), определена функция непрерывная вместе со своими производными Тогда, если только точка лежит внутри имеет место известная [178] формула для полного приращения функции:

где а и стремятся к нулю вместе с Рассуждения, приведенные для доказательства этой формулы, вообще неприложимы, когда точка оказывается лежащей на контуре. А между тем формула верна и для этого случая, если только связать условием, чтобы точка не выходила за пределы . В этом легко убедиться, если написать сначала формулу для функции дающей распространение на всю плоскость, а затем - ограничиваясь, как указано, точками области - вернуться к исходной функции

Во всех случаях, когда в основе умозаключений лежала формула (13), мы получаем теперь существенное дополнение к прежним результатам.

Так, при сделанных относительно функции предположениях она оказывается дифференцируемой [179] не только во внутренних точках области но и в точках ее границы. Для поверхности, выражаемой уравнением мы получаем возможность говорить о касательной плоскости [180] даже в точках ее контура.

На рассмотренной формуле, как мы знаем, основано также правило дифференцирования сложной функции [181].

Если функции

имеют производные, и точки лежат все внутри области то для сложной функции мы имели формулу

Теперь она распространяется и на случай, когда «кривая» (14) подходит вплотную к контуру области

Не входя в подробности, укажем еще один важный пример. Пусть имеем систему функций

непрерывных вместе со своими производными в некоторой замкнутой области на плоскости с контуром и пусть в некоторой точке этой области якобиан

отличен от 0. Если точка лежит внутри , то по теореме IV п° 208 система функций (15) допускает обращение, так что в окрестности точки где

переменные выражаются однозначными функциями от переменных

непрерывными вместе со своими производными в упомянутой окрестности. Таким образом, ограничиваясь значениями достаточно близкими, соответственно, к можно сказать, что соотношения (15) и (15 совершенно равносильны. Этим мы пользовались, например, при доказательстве утверждения, что поверхность

где изменяется в области , вблизи ее обыкновенной точки (отвечающей может быть выражена явным уравнением [228]. Но к точкам контура поверхности наши рассуждения были неприложимы, ибо в плоскости точка не могла лежать на контуре области

Теперь же, воспользовавшись распространениями и функций мы можем обобщить результат, относящийся к обращению системы функций, и на случай, когда точка лежит на контуре Примыкающей к точке части области отвечает на плоскости ху некоторая примыкающая к точке область, в пределах которой все же обращение допустимо.

Соответственным образом дополняется и упомянутый геометрический результат.

Приведенных примеров достаточно для того, чтобы читатель уяснил себе важность доказанных теорем как для самого математического анализа, так и для его приложений. Другие примеры применения теорем о распространении функций читатель найдет в последующих томах.