248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги.
До сих пор мы рассматривали общий случай непрерывной простой кривой (1). Желая дать удобные достаточные условия ее спрямляемости и изучить дальнейшие свойства длины дуги, мы вернемся к обычным в этой главе предположениям о существовании непрерывных производных 
Докажем, что при сделанных предположениях кривая (1) спрямляема.
Рассмотрим ломаную с вершинами в точках (2), определяемых значениями параметра (3). Координатами точки 
будут
Тогда периметр 
ломаной запишется так:
Но по формуле конечных приращений [112]
так что, окончательно,
Если через 
обозначить, соответственно, наибольшие значения функций 
в промежутке 
, то из (7) нетрудно получить оценку:
Множество 
оказывается ограниченным сверху, значит, кривая имеет конечную длину 
, т. е. спрямляема, что и требовалось доказать.
Так как 
то из (8) попутно получаем и оценку для S сверху:
которая нам сейчас понадобится. Впрочем, нам нужна будет и оценка снизу; если ввести наименьшие значения 
и Т функций 
в промежутке 
то из (7), аналогично (8), найдем, что
а тогда тем более
Если изменить 
ним вместе и положение точки 
на кривой, то длина переменной дуги 
окажется функцией от параметра 
мы будем обозначать ее через
Придадим переменной t положительное приращение 
точка М переместится вдоль по кривой, по направлению к В, в положение М (рис. 151). Величина S получит положительное же приращение 
равное длине дуги 
(по аддитивности длины дуги, доказанной в предыдущем п°). Таким образом, функция 
оказывается возрастающей.
Рис. 151.
Рассмотрим теперь, вместо промежутка 
, промежуток 
и применим к дуге 
длины 
оценки (9) и (9:
но здесь под 
мы вправе разуметь наименьшее и наибольшее значения функции 
уже в промежутке 
Отсюда
и, так как - по непрерывности производных - при 
оба числа 
а оба числа 
то оба корня в предшествующем неравенстве стремятся к общему пределу
Следовательно, к тому же пределу стремится и отношение 
как легко видеть, это справедливо и для 
Итак, имеем окончательно: длина переменной дуги 
оказывается дифференцируемой функцией от параметра 
ее производная по параметру выражается формулой:
или, короче,
Если возвести это равенство в квадрат и умножить почленно на 
то получим замечательную по простоте формулу
которая к тому же обладает геометрической наглядностью. На рис. 152 в (криволинейном) прямоугольном треугольнике 
«катетами» служат приращения координат точки 
а «гипотенузой» - дуга 
, которая является приращением дуги 
Оказывается, что если не для самих приращений, то для их главных частей - дифференциалов - имеет место своеобразная «теорема Пифагора».
Рис. 152.
Полезно отметить частные случаи важной формулы (10), отвечающие различным частным типам задания кривой. Так, если кривая задана явным уравнением в декартовых координатах 
то в роли «параметра» оказывается х, дуга s зависит от 
и формула (10) принимает вид
Если же кривая задана полярным уравнением 
то это, как мы знаем, равносильно заданию ее параметрическими уравнениями
где параметром будет в; дуга на этот раз будет функцией от 
Так как, очевидно,
то
и формула (10) преобразуется так:
Часто представляется удобным взять в качестве начальной точки А для отсчета дуг не один из концов дуги, а какую-либо внутреннюю точку ее. В этом случае естественно дуги, откладываемые от нее в направлении возрастания параметра, считать положительными, а в другом - отрицательными и, соответственно этому, длину дуги в первом случае снабжать знаком плюс, а во втором - знаком минус. Вот эту величину s дуги со знаком мы для краткости будем называть просто дугой. Формулы (10), (11), (10а), (106) имеют место во всех случаях.
[Заметим, что если положительное направление для отсчета дуг выбирать не в сторону возрастания периметра, как это делается
обычно, а в сторону его убывания, то в формулах (10), (10а), (106) пришлось бы перед радикалом поставить знак минус.]
