14. Определение произведения вещественных чисел.
Перейдем к умножению вещественных чисел, ограничиваясь сначала положительными числами. Пусть же даны два таких числа а и 
Мы здесь также станем рассматривать всевозможные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (1), но и эти числа предположим положительными.
Произведением 
двух положительных вещественных чисел а и назовем такое вещественное число у, которое содержится между всеми произведениями вида 
с одной стороны, и всеми произведениями вида 
- с другой.
Для доказательства существования такого числа у возьмём множество всевозможных произведений 
оно ограничено сверху любым из произведений вида 
Если положить
то, конечно, 
но одновременно и 
Возможность увеличить числа 
и уменьшить числа а, V (как и в случае суммы) позволяет исключить здесь знак равенства, так что число у удовлетворяет определению произведения.
Единственность произведения вытекает из следующих соображений. Подберем, по замечанию в 9, рациональные числа 
так, чтобы было
где 
- произвольно малое рациональное положительное число. При этом можно считать, что числа а и 
положительны, а числа а и 
не превосходят, соответственно, некоторых наперед фиксированных чисел 
Тогда разность
т. е. также может быть сделана сколь угодно малой 
а этого, по
лемме 2, достаточно для утверждения, что неравенствам (3) может удовлетворять только одно число у.
Если положительные числа 
оба рациональны, то их обычное произведение 
удовлетворяет, очевидно, неравенствам (3), т. е. получается таким же и по общему определению произведения двух вещественных чисел - противоречия нет.
Наконец, для того чтобы определить произведение произвольной пары вещественных чисел (не обязательно положительных), заключим следующие соглашения.
Прежде всего, условимся, что
каково бы ни было а.
Если же оба множителя отличны от 0, то положим в основу обычное «правило знаков»:
(что означает произведение положительных чисел 
- мы уже знаем).
Эти соглашения, как мы видели в 4, в некотором смысле обязательны для нас, если мы хотим, чтобы действия над вещественными числами обладали всеми основными свойствами действий над рациональными числами.
