ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. Изучение хода изменения функции

131. Условие постоянства функции.

При изучении хода изменения функции на первом месте появляется вопрос об условиях, при которых функция сохраняет в данном промежутке постоянное значение или изменяется в нем монотонно [57].

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X и имеет внутри него конечную производную Для того, чтобы была постоянной, необходимо и достаточно условие

Необходимость условия очевидна: из следует Докажем теперь обратное.

Достаточность. Пусть условие выполнено. Фиксируем некоторую точку из промежутка X и возьмем любую другую его точку х. Для промежутка или удовлетворены все условия теоремы Лагранжа [112], следовательно можем написать

где с содержится между и значит заведомо лежит внутри X. Но по предположению так что для всех х из X

и наше утверждение доказано.

В интегральном исчислении важное приложение найдет вытекающее отсюда простое предложение.

Следствие. Если две функции определены и непрерывны в промежутке X и внутри него имеют конечные производные причем

то эти функции во всем промежутке X разнятся лишь на постоянную:

Для доказательства достаточно применить теорему к разности так как ее производная внутри X сводится к О, то сама разность будет постоянной.

Особенности пользования этой теоремой выясним на примерах:

1) Рассмотрим две функции

Так как производная второй из них

совпадает с производной первой функции, то эти функции во всем промежутке от до разнятся на постоянную:

Для определения значения этой постоянной можно, например, положить здесь так как при этом арктангенс и арксинус оба обратятся в 0, то и С должно быть нулем. Итак, мы доказали тождество

которое, впрочем, в 50 было выведено из элементарных соображений.

2) Предлагается, аналогично, доказать, что

3) Рассмотрим теперь функции

Легко проверить, что их производные совпадают во всех точках х, исключая (где вторая из функций теряет смысл). Поэтому тождество

оказывается установленным лишь для каждого из промежутков

в отдельности. Любопытно, что и значения постоянной С для этих промежутков будут различными. Для первого из них (в чем убеждаемся, полагая

а для двух других имеем, соответственно, иди легко усмотреть, если, например, устремить или

Все эти соотношения также могут быть доказаны элементарно.

Замечание. Значение теоремы 1 проявляется в теоретических исследованиях и вообще в тех случаях, когда функция задана так, что из ее определения непосредственно не вытекает, что она сохраняет постоянное значение. Подобные случаи нам не раз встретятся в дальнейшем.