224. Примеры.

Сделаем обзор наичаще встречающихся кривых (многие из них, впрочем, уже знакомы читателю из аналитической геометрии).

1) Цепная линия (рис. 41). Ее уравнение

По такой линии устанавливается в равновесии гибкая и нерастяжимая тяжелая нить (цепь, провод и т. п.), подвешенная за оба конца.

Форма кривой вблизи вершины А (см. рис. 41) напоминает параболу, но при удалении от вершины кривая круче устремляется в бесконечность. Отрезок определяет точнее ее форму - чем а меньше, тем кривая круче. То расположение кривой, которое изображено на чертеже, вовсе необязательно, но оно позволяет придать уравнению кривой наиболее простой вид.

2) Эллипс, отнесенный к осям симметрии, имеет уравнение

Поскольку сумма квадратов величин должна равняться единице, естественно принять их, соответственно, за косинус и синус некоторого угла Это приводит к обычному параметрическому представлению эллипса,

при изменении от 0 до эллипс описывается против часовой стрелки начиная от конца большой оси.

Можно было бы, разумеется, использовать и какие-либо другие выражения, сумма квадратов которых равна единице, и положить, например,

где изменяется от до Так как при и имеем то можно считать условно, что точка получается при

Рис. 115.

Аналогично для случая гиперболы

вспоминая известное соотношение, связывающее гиперболические косинус и синус, можно положить

Другое представление той же кривой:

Читателю рекомендуется во всех случаях дать себе отчет в передвижении точки по кривой при изменении параметра.

3) Полукубическая парабола (рис. 115)

Здесь особой точкой служит начало (0, 0). Если решить уравнение относительно у, то получим явные уравнения двух симметричных ветвей кривой

Так как при для обеих ветвей, то в начале они обе касаются оси х, и налицо острие [точка возврата, см. 236].

4) Астроида (рис. 116)

Это уравнение, собственно говоря, не подходит под тот тип, которым мы условились ограничиться: в каждой из точек одна из частных производных левой части уравнения обращается в Впрочем нетрудно, освободив

уравнение кривой от иррациональностей, представить его в виде

При этом представлении указанные точки как раз и будут особыми.

Из уравнения кривой видно, что кривая лежит в круге и симметрична относительно обеих осей; ограничимся поэтому первым квадрантом. Разрешая уравнение относительно у:

и дифференцируя:

видим, что при касательная вертикальна, а при - горизонтальна. Отсюда следует, что во всех четырех особых точках будут острия (точки возврата).

Рис. 116.

Желая получить параметрическое представление астроиды, используем то, что - в силу уравнения кривой - сумма квадратов выражений должна равняться единице. Положив их равными придем к таким параметрическим уравнениям:

Так как производные

обе обращаются в 0 при то этим значениям параметра отвечают особые точки - те же, что и выше.

Рис. 117.

5) Декартов лист (рис. 117)

Особой точкой служит начало координат (0, 0): в нем кривая сама себя пересекает. Кривая имеет асимптоту как при так и при

Чтобы убедиться в этом, разделим уравнение почленно на

Отсюда, прежде всего, можно заключить, что, скажем, при — остается

ограниченным, а тогда уже ясно, что при отношение . С другой стороны, уравнение дает нам

так что при будет . Этим наше утверждение и оправдано [148].

Вводя в качестве параметра отношение и подставляя в уравнение кривой легко получить параметрическое представление:

При обе координаты стремятся к 0; можно считать, что начальная точка (0, 0) получается как при так и при При изменении от до , точка исходя из начала, вдоль правой вегви удаляется в бесконечность. При изменении t от - 1 до 0 наша точка из бесконечности вдоль левой ветви возвращается к началу. Наконец, при возрастании от 0 до точка описывает (против часовой стрелки) петлю.