§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения

196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия.

Пусть функция

определена в области будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если ее можно окружить такой окрестностью

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

Если эту окрестность можно взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключен, т. е. чтобы в каждой точке ее, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство

то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум); в противном случае, максимум (минимум) называется несобственным.

Для обозначения максимума и минимума употребляется и общий термин - экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные:

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим сохраняя х, переменным; тогда у нас получится функция от одной переменной

Так как мы предположили, что в точке существует экстремум (для определенности - пусть это будет максимум), то,

в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности точки необходимо должно вьшолняться неравенство

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма [109] следует, что

Таким же образом можно показать, что в точке и остальные частные производные также равны нулю.

Итак, «подозрительными» по экстремуму являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль; их координаты можно найти, решив систему уравнений

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называют стационарными.

Замечания. I. Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать еще так:

так как, если то, каковы бы ни были всегда

И обратно: если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности производные порознь равны нулю.

II. Обычно рассматриваемая функция имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные

равны 0). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными точками [см. ниже: 201, 6)].