21. Измерение отрезков.

Невозможность снабдить, оставаясь в области рациональных чисел, все отрезки длинами также была важнейшим поводом к введению иррациональных чисел. Покажем теперь, что произведенного расширения числовой области достаточно для решения задачи измерения отрезков.

Прежде всего сформулируем самую задачу

Требуется с каждым прямолинейным отрезком А связать некоторое положительное вещественное число которое будем называть «длиной отрезка А», так, чтобы

1) некоторый наперед выбранный отрезок Е («эталон длины») имел длину

2) равные отрезки имели одну и ту же длину,

3) при сложении отрезков длина суммы всегда была равна сумме длин складываемых отрезков:

(«свойство аддитивности»).

Поставленные условия приводят к однозначному решению задачи.

Из 2) и 3) следует, что часть эталона должна иметь длину если же эта часть повторена слагаемым раз, то полученный отрезок, в силу 3), должен иметь длину . Таким образом, если отрезок А соизмерим с эталоном длины, и общая мера отрезков А и Е укладывается в них, соответственно, раз, то необходимо

Легко видеть, что это число не зависит от взятой общей меры и что если отрезкам, соизмеримым с эталоном, приписать рациональные длины по этому правилу, то - для этих отрезков - задача измерения будет полностью решена.

Если отрезок А больше отрезка В, так что где С есть также некоторый отрезок, то, в силу 3), должно быть:

и, так как то . Итак, неравные отрезки должны иметь неравные длины, а именно, больший отрезок - большую длину.

Так как каждое положительное рациональное число - является длиной некоторого отрезка, соизмеримого с эталоном длины Е, то из сказанного, между прочим, ясно, что ни один отрезок, несоизмеримый с эталоном, не может иметь рациональную длину.

Пусть же будет такой отрезок, несоизмеримый с Е. Найдется бесчисленное множество отрезков S соизмеримых с Е и, соответственно, меньших или больших . Если обозначить их длины через s и то искомая длина должна удовлетворять неравенствам

Если разбить все рациональные числа на два класса S отнеся к нижнему классу S числа s (и кроме них - все отрицательные числа и 0), а к верхнему классу S - числа то получится сечение в области рациональных чисел. Так как в нижнем классе, очевидно, нет наибольшего числа, а в верхнем - наименьшего, то этим сечением определяется иррациональное число а, которое и будет единственным вещественным числом, удовлетворяющим неравенствам Именно этому числу необходимо положить равной длину

Предположим теперь, что всем отрезкам, как соизмеримым с Е, так и несоизмеримым, приписаны длины в согласии с указанными

правилами. Выполнение условий 1), 2) очевидно. Рассмотрим два отрезка Р, Е с длинами и их сумму, отрезок , длину которого обозначим через Взяв любые положительные рациональные числа такие, что

построим отрезки для которых именно эти числа, соответственно, служат длинами. Отрезок (длины будет меньше Т, а отрезок (длины r + s) - больше Т. Поэтому

Но [12] единственным вещественным числом, содержащимся между числами вида и числами является сумма . Следовательно,

Распространение «свойства аддитивности» на случай любого конечного числа слагаемых производится по методу математической индукции.

Если на оси (направленной прямой) (рис. 1) выбрать начальную точку О и эталон длины то каждой точке X этой прямой отвечает некоторое вещественное число - ее абсцисса х, равная длине отрезка если X лежит в положительном направлении от О, или этой длине со знаком минус - в противном случае.

Рис. 1.

Естественно встает вопрос, будет ли верно и обратное: каждое ли вещественное число х отвечает при этом некоторой точке прямой Вопрос этот в геометрии решается в утвердительном смысле - именно с помощью аксиомы о непрерывности прямой, устанавливающей для прямой, как множества точек, свойство, аналогичное свойству непрерывности области вещественных чисел [10].

Таким образом, между всеми вещественными числами и точками направленной прямой (оси) можно установить взаимно однозначное соответствие. Вещественные числа можно изображать точками на оси, которую в связи с этим называют числовой осью. Подобным изображением мы впредь постоянно будем пользоваться.