29. Леммы о бесконечно малых.

В дальнейших теоремах нам придётся рассматривать одновременно две варианты (или больше), сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом, как и выше, мы относим эти знаки к соответствующим значениям вариант. Например, говоря о сумме двух вариант пробегающих порознь последовательности значений

и

мы имеем в виду варианту принимающую последовательность значений

При доказательстве теорем, относящихся к результатам арифметических операций над переменными, важную роль будут играть следующие две леммы о бесконечно малых.

Лемма 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая.

Проведем доказательство для случая двух бесконечно малых (общий случай исчерпывается аналогично).

Зададимся произвольным числом Согласно определению бесконечно малой, по числу для бесконечно малой найдется такой номер что при будет

Точно так же и для бесконечно малой найдется такой номер что при будет

Если взять натуральное число большим обоих чисел и то при и одновременно выполняются оба эти неравенства, так что

Итак, величина действительно, является бесконечно малой.

Лемма 2. Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Пусть, для всех значений

Если задано произвольное число то по числу для бесконечно малой найдется такой номер что для будет

Тогда для тех же значений очевидно,

Отсюда и следует, что есть бесконечно малая.