117. Формула Лейбница.
Как мы заметили в начале предыдущего п°, правила I и II, 97, непосредственно переносятся и на случай производных любого порядка. Сложнее обстоит дело с правилом III, относящимся к дифференцированию произведения.
Предположим, что функции и,
от х имеют каждая в отдельности производные до
порядка включительно: докажем, что тогда их произведение
также имеет
производную, и найдём её выражение.
Станем, применяя правило III, последовательно дифференцировать это произведение; мы найдём:
Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их напоминают разложение степеней бинома:
вместо степеней и,
стоят производные соответствующих порядков. Сходство станет более полным, если в полученных формулах вместо и,
писать
Распространяя этот закон на случай любого
, придем к общей формуле:
Для доказательства её справедливости прибегнем снова к методу математической индукции. Допустим, что при некотором значении
она верна. Если для функций и,
существуют и
производные, то можно ещё раз продифференцировать по
мы получим:
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций
(сумма порядков производных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда
Произведение
входит только в первую сумму (при
); коэффициент его в этой сумме есть
Точно так же
входит только во вторую сумму (в слагаемое с номером
с коэффициентом
Все остальные произведения, входящие в эти суммы, имеют вид причём
Каждое такое произведение встретится как в первой сумме (слагаемое с номером
), так и во второй сумме (слагаемое с номером
). Сумма соответствующих коэффициентов будет
как известно,