117. Формула Лейбница.
Как мы заметили в начале предыдущего п°, правила I и II, 97, непосредственно переносятся и на случай производных любого порядка. Сложнее обстоит дело с правилом III, относящимся к дифференцированию произведения.
Предположим, что функции и, 
от х имеют каждая в отдельности производные до 
порядка включительно: докажем, что тогда их произведение 
также имеет 
производную, и найдём её выражение.
Станем, применяя правило III, последовательно дифференцировать это произведение; мы найдём:
Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их напоминают разложение степеней бинома: 
вместо степеней и, 
стоят производные соответствующих порядков. Сходство станет более полным, если в полученных формулах вместо и, 
писать 
Распространяя этот закон на случай любого 
, придем к общей формуле:
Для доказательства её справедливости прибегнем снова к методу математической индукции. Допустим, что при некотором значении 
она верна. Если для функций и, 
существуют и 
производные, то можно ещё раз продифференцировать по 
мы получим:
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций 
(сумма порядков производных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда 
Произведение 
входит только в первую сумму (при 
); коэффициент его в этой сумме есть 
Точно так же 
входит только во вторую сумму (в слагаемое с номером 
с коэффициентом 
Все остальные произведения, входящие в эти суммы, имеют вид причём 
Каждое такое произведение встретится как в первой сумме (слагаемое с номером 
), так и во второй сумме (слагаемое с номером 
). Сумма соответствующих коэффициентов будет 
как известно,
выражение, вполне аналогичное выражению (1) (только 
заменилось числом 
); этим и доказана справедливость формулы (1) для всех натуральных значений 
производной.
производной произведения нескольких сомножителей 
она имеет сходство с разложением степени многочлена 