40. Частичные последовательности и частичные пределы.

Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью (1), какую-либо извлеченную из нее частичную последовательность (или подпоследовательность)

где есть некоторая последовательность возрастающих натуральных чисел:

Здесь роль номера, принимающего последовательно все натуральные значения, играет уже не же представляет собой варианту, принимающую натуральные значения и, очевидно, стремящуюся к при возрастании к.

Если последовательность (1) имеет определенный предел а (конечный или нет), то тот же предел имеет и частичная последовательность (4).

Остановимся для примера на случае конечного а. Пусть для заданного нашлось такое что при уже выполняется неравенство:

Ввиду того, что существует и такое К, что при будет Тогда, при тех же значениях к, будет выполняться неравенство

что и доказывает наше утверждение.

[Заметим попутно, что в этом рассуждении мы не опирались на неравенства (5), т. е. не пользовались монотонностью варианты Значит, наше утверждение сохраняет силу, по какому бы закону не стремилась к целочисленная варианта

Если для варианты или, что то же, для последовательности (1) нет определенного предела, то это не исключает возможности существования предела для какой-либо частичной последовательности (4) или для соответствующей ей варианты Такой предел называют частичным пределом для вариантыхп или последовательности (1).

Пусть, например, предела эта варианта не имеет. Если же заставить и пробегать лишь одни нечётные или одни четные значения, то частичные последовательности

и

будут иметь пределом, соответственно, 1 или - 1. Эти числа и являются частичными пределами варианты Аналогично, варианта имеет частичные пределы и а варианта - частичные пределы и 0.

Легко построить примеры варианты, для которой существует бесконечное множество различных частичных пределов; вот один из них. Зададим варианту следующим правилом: если номер написан по десятичной системе: (где - цифры), то полагаем

Например, При этом каждая конечная десятичная дробь, между 0,1 и 1, встречается в ряду значений нашей варианты бесконечное множество раз: например, 0,217 - на месте, а также на

Отсюда сразу следует, что каждая конечная десятичная дробь между 0,1 и 1 будет служить частичным пределом для нашей варианты. Но если взять и любое другое вещественное число а в этих границах, то стоит лишь представить его в виде бесконечной десятичной дроби [9]:

чтобы стало ясно, что частичная последовательность

имеет именно это число а своим пределом. Таким образом, в рассматриваемом случае частичными пределами последовательности заполняется весь промежуток [0,1; 1].

Всегда ли для варианты существуют частичные пределы? На этот вопрос легко ответить утвердительно в случае, когда множество не ограничено. Пусть например, оно не ограничено сверху; тогда для каждого натурального к найдется в ряду (1) член больший, чем k:

(причем легко устроить так, чтобы номера возрастали вместе с k). Частичная последовательность

очевидно, будет иметь пределом это и есть частичный предел для нашей варианты.

Утвердительный ответ можно дать и в случае ограниченной варианты; но это требует более тонких соображений, которые мы приведём в следующем п°.