226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры.

Во многих случаях оказывается проще представлять кривые их полярными уравнениями, устанавливающими зависимость

между текущими полярными координатами в точек кривой. Полярный угол в мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки. Полярный радиус-вектор мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом , а во втором - в противоположном направлении.

Как в случае прямоугольных координат, и здесь зависимость между и 0 может быть задана в явной, неявной или параметрической форме. Мы ограничимся, преимущественно, простейшим случаем, когда кривая представляется явным уравнением вида

Если перейти к прямоугольным координатам, взяв, как обычно, полюс за начало, а полярную ось - за ось х, то уравнения

дадут параметрическое представление нашей кривой, причем роль параметра здесь будет играть полярный угол .

Рис. 122.

[Полученные здесь функции от , вместе с непрерывны и имеют непрерывные производные.]

Формулы

показывают, что особая точка (в смысле п° 223) может встретиться лишь в том случае, если

Обратимся к примерам.

1) Архимедова спираль: (рис. 122).

Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

Для построения ряда точек кривой отложим по вертикали а затем возьмем ибо им отвечают углы Изменяя угол от 0 до получим бесконечное множество витков кривой расстояния соседних витков, считая по лучу, равны

Можно углу 0 придавать и отрицательные значения, от 0 до . Тогда получится вторая часть кривой намеченная пунктиром; она симметрична с первой.

Заметим, что уравнение также выражает архимедову спираль: если повернуть полярную ось на угол а то это уравнение приведется к виду

Гиперболическая спираль: (рис. 123).

При возрастании угла до бесконечности радиус-вектор стремится к нулю, а точка кривой стремится к совпадению с полюсом (никогда его не достигая); в этих условиях полюс называется асимптотической точкой кривой.

Рис. 123.

Кривая бесчисленное множество раз заворачивается вокруг полюса.

Если на луче отложить отрезок и взять то точки очевидно, лежат на кривой.

Угол может принимать и отрицательные значения. При изменении от 0 до как и в случае архимедовой спирали, получается вторая часть кривой симметричная с первой; она и здесь намечена пунктиром.

Для уточнения формы кривой в бесконечности рассмотрим вертикальное расстояние точки кривой до полярной оси При или - что то же - при имеем Таким образом, прямая, проведенная параллельно полярной оси на расстоянии а от нее, служит для кривой асимптотой.

3) Логарифмическая спираль: (рис. 124).

Если угол возрастает (или убывает) в арифметической прогрессии, то возрастает (убывает) в геометрической прогрессии. Отложим на полярной оси отрезок ОА = а, а на вертикали к ней - отрезок обе точки А, В принадлежат нашей кривой.

Рис. 124.

Если построить теперь прямоугольную ломаную то из подобия треугольников нетрудно заключить, что отрезки образуют геометрическую прогрессию со знаменателем так как соответствующие углы суть то, очевидно, все точки также лежат на рассматриваемой спирали.

Когда угол растет от 0 до точка делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, быстро удаляясь от него в бесконечность; расстояния между витками уже не равны. Угол может принимать и отрицательные значения; когда 0 стремится к то радиус-вектор стремится к 0. Кривая бесконечное множество раз заворачивается вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь (но никогда не достигая, см. часть на рис. 124); полюс является асимптотической точкой кривой.

Отметим, наконец, что, поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться уничтожения множителя а и привести уравнение логарифмической спирали к простейшему виду:

4) Улитки: (рис. 125).

Происхождение этих кривых можно себе представить так. Возьмем окружность диаметра а. Если выбрать полюс О лежащим на самой окружности, а полярную ось провести через центр С, то для любой точки М окружности, очевидно, будет Это и есть полярное уравнение окружности. Если изменять здесь угол от 0 до то переменная точка дважды опишет окружность (против часовой стрелки).

Если удлинить теперь все радиусы-векторы окружности на постоянный отрезок то из построенных таким путем точек М составится новая кривая, которая и носит общее название улитки. Ее полярное уравнение, очевидно, будет

Проще всего обстоит дело, если ибо тогда радиус-вектор всегда положителен и кривая окружает полюс со всех сторон (рис. 125 а). При кривая проходит через полюс и, сама себя пересекая, образует внутреннюю петлю, как

на рис. 125 б. Для определения углов в, при которых переменная точка проходит через полюс, полагаем в уравнении кривой. Мы получаем уравнение которое имеет решение именно потому, что .

Особенно интересен промежуточный тип кривой, отвечающий случаю, когда Здесь полюс лежит на кривой , но петли нет; кривая изображена на рис. 125 в. Сразу бросается в глаза тождество этой кривой с кардиоидой, рассмотренной выше, как частный случай эпициклоиды (рис. 120). Представляем читателю убедиться в этом.

Рис. 125.

5) Лемниската Бернулли: (рис. 126).

Эту кривую можно определить как геометрическое место точек М, для которых произведение их расстояний до двух данных точек и отстоящих одна от другой на расстояние 2а, есть постоянная величина

При обозначениях рис. 126 из треугольников имеем

так что, по определению,

откуда после элементарных преобразований получим

Это и есть полярное уравнение лемнискаты.

Так как левая, а с ней и правая часть этого уравнения не может принимать отрицательных значений, то угол может изменяться лишь в таких промежутках, для которых

Рис. 126.

Это будут промежутки

Вся кривая расположится в двух вертикальных углах между прямыми проведенными под углами к полярной оси (см. рисунок). Она сама себя пересекает в полюсе, которому отвечают

Если обычным образом перейти к прямоугольным координатам, то легко; получить такое (неявное) уравнение лемнискаты: