242. Случай неявного задания одной из кривых.

Рассмотрим теперь случай, когда вторая кривая задана неявным уравнением

Пусть рассматриваемая точка не является для этой кривой особой, а именно пусть Тогда в окрестности этой точки уравнение (15) определяет однозначную функцию и для установления порядка касания могут быть использованы уже известные условия (13) [и (14)].

Но так как явного выражения функции в этом случае мы не имеем, то было бы удобнее выразить эти условия в такой форме, которая использовала бы лишь данную функцию

С этой целью вспоминаем, что значения функции и ее производных последовательно и притом однозначно определяются уравнением (15) и теми уравнениями, которые получаются из него дифференцированием по х, если под у разуметь

Поэтому, если (при в этих равенствах везде вместо подставить, соответственно, то получатся условия

которые совершенно равносильны условиям (13).

Для того чтобы представить их в более обозримой форме, введем обозначение

Тогда условия эти перепишутся так:

Итак, при соблюдении условий (17) (в точке с абсциссой кривая (15) будет иметь с кривой касание порядка не ниже Нетрудно сообразить, что этот порядок точно если сверх того