50. Обратные тригонометрические функции.

В дополнение классам элементарных функций, которые были упомянуты в 48, рассмотрим теперь

7° Обратные тригонометрические функции:

Остановимся сначала на первой из них. Функция лег определена в промежутке причём её значения заполняют сплошь промежуток Параллель оси х пересекает синусоиду, т. е. график функции (черт. 15) в бесконечном множестве точек; иначе говоря, каждому значению у из промежутка [- 1,1] отвечает бесконечное множество значенийх. Поэтому обратная функция, которую обозначают так:

будет (бесконечно-)многозначной.

Обычно рассматривают лишь одну «ветвь» этой функции, отвечающую изменению х между каждому у из в этих пределах отвечает одно значение его обозначают через

и называют главным значением арксинуса.

Поворачивая синусоиду около биссектрисы первого координатного угла (черт. 20), получаем график многозначной функции сплошной линией выделен график главной ветви её которая однозначно определена в промежутке значений и притом удовлетворяет неравенству

которое характеризует её среди других ветвей.

Черт. 20.

Вспоминая из элементарной тригонометрии, как выражаются все значения угла, имеющего данный синус, через одно из этих значений, легко написать формулы, дающие все значения арксинуса:

Исходя из теоремы сложения для синуса

можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно, положим здесь (где х и у лежат между — 1 и -(-1); тогда

причём корни берутся со знаком плюс, так как углы а и , по характерному свойству главного значения арксинуса, лежат между — у и у, так что косинусы их положительны. Итак,

откуда

Формула может быть написана проще:

лишь в том случае, если и не выходит из промежутка Это условие автоматически выполняется, если аргументы х и у (а с ними имеют разные знаки. В случае одинаковых знаков высказанное условие, как легко видеть, равносильно такому:

Подобные же рассуждения применимы к функции . И здесь обратная функция

оказывается (бесконечно-)многозначной (см. черт. 15). Для выделений однозначной ветви, её подчиняют условию:

это есть главная ветвь арккосинуса.

I Функция связана с очевидным соотношением

действительно, не только косинус угла равен но и сам угол содержится именно между Оите. Остальные значения выражаются через главное его значение по формуле

Функция определена для всех значений кроме значений Значения у заполняют здесь промежуток причём каждому у снова соответствует бесконечное множество значений (см. черт. 16). Поэтому обратная функция заданная в промежутке будет (бесконечно-)многозначной. На черт. 21 изображён график функции полученный поворотом на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла графика функции За главное значение арктангенса, принимают то из значений этой многозначной функции, которое удовлетворяет неравенствам

Таким путём определяется однозначная функция — главная ветвь арктангенса, заданная для всех значений Остальные чения арктангенса, как легко показать, получаются так:

(кликните для просмотра скана)

Нетрудно установить прямую связь между функциями

Например, если положить так что то причём корень берётся со знаком плюс, потому что отсюда и вытекает, что

Упомянем ещё о функции её главное значение определяется неравенствами

и связано с соотношением

Остальные значения арккотангенса имеют вид

На функциях (те же промежутки изменения) останавливаться не будем, предоставляя читателю самому в них разобраться.