2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

Поскольку для любого формула Маклорена (6.54) имеет вид

где остаточный член в форме Лагранжа равен

На любом сегменте в силу того, что получим следующую оценку для остаточного члена:

Поскольку

формула Маклорена (6.54) имеет вид

где — нечетное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен

Очевидно, что на любом сегменте для остаточного члена справедлива следующая оценка:

Поскольку

формула Маклорена (6.54) имеет вид

где — четное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен

На любом сегменте получаем для остаточного члена оценку (6.64).

Поскольку

формула Маклорена (6.54) имеет вид

Остаточный член на этот раз запишем и оценим и в форме Лагранжа, и в форме Коши:

Для оценки функции для значений х, принадлежащих сегменту удобнее исходить из остаточного члена в форме Лагранжа (6.67). Переходя в формуле (6.67) к модулям, получим для всех х из сегмента

Из оценки (6.69) очевидно, что для всех х из сегмента при

Оценим теперь функцию для отрицательных значений х из сегмента где Для этого будем исходить из остаточного члена в форме Коши (6.68).

Перепишем этот остаточный член в виде

Принимая во внимание, что для рассматриваемых значений х выражение , и переходя в формуле (6.70) к модулям, будем иметь

Так как то оценка (6.71) позволяет утверждать, что .

, где а — вещественное число. Поскольку

формула Маклорена (6.54) имеет вид

где остаточный член в форме Лагранжа равен

В частном случае, когда — натуральное число, и мы получим известную из элементарного курса формулу бинома Ньютона

Если нужно получить разложение не двучлена а двучлена то можно вынести за скобку и воспользоваться формулой (6.74). При этом получим

Таким образом, общий случай бинома Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.

Поскольку

(см. пример 5 из п. 2 § 6 гл. 5), то

и формула Маклорена (6.54) принимает вид

где — нечетное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен

Для остаточного члена на любом сегменте справедлива оценка

Из оценки (6.76) очевидно, что при любом с 1 остаточный член стремится к нулю при