§ 2. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ (ИЛИ СНИЗУ) МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ

1. Основные понятия.

Рассмотрим совершенно произвольное множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями.

Отдельные числа, входящие в состав множества мы будем называть элементами этого множества.

Всюду в этом параграфе мы будем требовать, чтобы рассматриваемое множество содержало хотя бы один элемент (такое множество принято называть непустым).

Введем важное понятие ограниченности множества сверху (или соответственно снизу).

Определение 1. Множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, называется ограниченным сверху (соответственно ограниченным снизу), если существует такое представимое бесконечной десятичной дробью число М (соответственно такое представимое бесконечной десятичной дробью число что каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству

При этом число М (число называется верхней гранью (нижней гранью) множества М

Конечно, любое ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней. В самом деле, если число М — одна из верхних граней множества то любое число М, большее числа М, также является верхней гранью множества (ибо из

справедливости неравенства (2.8) будет следовать, что Аналогичное замечание можно сделать в отношении нижних граней ограниченного снизу множества

Так, например, множество всех представимых бесконечными десятичными дробями отрицательных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани М такого множества можно взять любое неотрицательное число. Множество всех целых положительных чисел ограничено снизу. В качестве нижней грани этого множества можно взять любое число удовлетворяющее неравенству .

Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.

Определение 2. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества называется очной верхней гранью этого множества и обозначается символом

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом

Определение 2 можно сформулировать и по-другому, а именно:

Число х (число называется точной верхней (точной нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества если выполнены следующие два требования: 1) каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству каково бы ни было число х, меньшее х (большее найдется хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству

В этом определении требование 1) утверждает, что число х (число является одной из верхних (нижних) граней, а требование 2) говорит о том, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может.