4. Второе достаточное условие экстремума.

Теорема 7.2. Пусть функция имеет в данной стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке с локальный максимум, если и локальный минимум, если

Доказательство. Из условия и из доказанной в гл. 6 теоремы 6.1 вытекает, что функция убывает (возрастает) в точке с.

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Поскольку по условию то найдется такая окрестность точки с, в пределах которой положительна (отрицательна) слева от с и отрицательна (положительна) справа от с. Но тогда по предыдущей теореме имеет в точке с локальный максимум (минимум)

Замечание. Теорема 7.2 имеет, вообще говоря, более узкую сферу действия, чем теорема 7.1. Так, теорема 7.2 не решает вопроса об экстремуме для случая, когда вторая производная не существует в точке с, а также для случая, когда . В последнем случае для решения вопроса о наличии экстремума нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков, что будет сделано нами ниже в

Примеры. 1) В неподвижную чашку, имеющую форму полушара радиуса опущен однородный стержень длины t (рис. 7.3). Предполагая, что найти положение равновесия стержня.

Положению равновесия стержня соответствует минимальное значение его потенциальной энергии, т. е. наинизшее положение центра его тяжести О (поскольку стержень является однородным, центр тяжести его совпадает с его серединой). Обозначая через перпендикуляр к плоскости, на которой стоит чашка,

мы сведем задачу к отысканию того положения стержня при котором отрезок имеет минимальную длину. Прежде всего вычислим длину отрезка как функцию угла а наклона стержня к плоскости, на которой стоит чашка. Пусть прямая параллельна прямой а прямая перпендикулярна — точка, в которой стержень опирается на край чашки).

Из рассмотрения прямоугольного треугольника следует, что . По условию Таким образом,

С другой стороны, Поэтому из рассмотрения прямоугольного треугольника следует, что

Таким образом, длина отрезка которую мы обозначим равна

Переходим к отысканию того значения угла а, которое доставляет минимум (Понятно, что мы можем ограничиться значениями угла а из первой четверти.) Так как

то стационарные точки находятся как решения квадратного уравнения

Поскольку а в первой четверти положителен, то нам пригоден только положительный корень этого уравнения

Хотя по смыслу задачи и ясно, что единственная стационарная точка является точкой минимума функции мы установим это строго при помощи теоремы 7.2. Достаточно убедиться в том, что Поскольку

то в силу (7.2)

Тем самым установлено, что положению равновесия стержня отвечает угол наклона его к плоскости, на которой стоит чашка, определяемый формулой (7.2).

2) Еще раз найдем точки эксртемума функции Стационарными точками этой функции, как мы уже видели выше, являются точки Так как

то в силу теоремы 7.2 функция имеет максимум в точке 0 и минимум в точке 2. Экстремальные значения этой функции равны