2. Дифференцирование обратной функции.

Теорема 5.4. Пусть функция возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке х и ее производная в этой точке отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки определена обратная для функция причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке и для ее производной в этой точке у справедлива формула

Доказательство. Так как функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки х, то в силу теоремы 4.5 (см. § 2 гл. 4) обратная функция определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности соответствующей точки

Придадим аргументу этой обратной функции в указанной точке произвольное достаточно малое и отличное от нуля приращение Этому приращению отвечает приращение обратной функции в соответствующей точке причем в силу строгой монотонности обратной функции указанное приращение отлично от нуля.

Это дает нам право написать следующее тождество

Пусть теперь в тождестве (5.18) приращение стремится к нулю. Тогда в силу разностной формы условия непрерывности обратной функции в соответствующей точке приращение этой функции также стремится к нулю. Убедимся в том, что в таком случае существует предел правой части (5.18),

равный величине, стоящей в правой части (5.17). Этим будет доказано, что тот же самый предел имеет и левая часть (5.18), т. е. будет доказано, что обратная функция имеет производную в соответствующей точке и для этой производной справедливо равенство (5.17).

Итак, для завершения доказательства теоремы остается убедиться в том, что правая часть (5.18) имеет предел при равный где х — данная точка.

Так как

Отсюда следует, что правая часть (5.18) может быть переписана в виде

Из последнего равенства в силу определения производной и предположения сразу же вытекает, что предел при правой части (5.18) существует и равен

Теорема доказана.

Примеры применения доказанной теоремы будут даны в следующем параграфе.

Рис. 5.3

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть М — точка графика функции отвечающая данному значению аргумента х (рис. 5.3). Тогда, очевидно, производная равна тангенсу угла наклона а касательной, проходящей через точку М, к оси а производная обратной функции в соответствующей точке равна тангенсу угла наклона той же самой касательной к оси Поскольку углы наклона а и в сумме составляют то формула (5.17) выражает очевидный факт: