§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ
Теорема 5.5. Если каждая из функций и 
дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что значение 
также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы
Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи суммы (разности), произведения и частного.
1°. Пусть 
Обозначим символами 
приращения функций 
в данной точке х, отвечающие приращению аргумента 
Тогда, очевидно,
Таким образом,
Пусть теперь 
Тогда в силу существования производных функций 
в точке х существует предел правой части (5.25), равный 
Значит, существует предел (при 
и левой части (5.25). По определению производной указанный предел равен 
и мы приходим к требуемому равенству 
2°. Пусть, далее, 
Сохраняя за А и, 
тот же смысл, что и выше, будем иметь
(Мы прибавили и вычли слагаемое 
Далее можем записать
Таким образом,
Пусть теперь 
Тогда в силу дифференцируемости функций 
в точке х существуют пределы отношений 
и соответственно равные 
Далее, из дифференцируемости функции 
в точке х в силу теоремы 5.2 следует непрерывность 
в этой точке. Значит, существует предел 
равный 
Таким образом, существует предел правой части (5.26) при 
равный 
Значит, существует предел (при 
и левой части (5.26). По определению производной указанный предел равен 
и мы приходим к требуемой формуле 
3°. Пусть, наконец, 
Тогда, поскольку 
по теореме 4.11 об устойчивости знака непрерывной в данной точке х функции 
для всех достаточно малых 
и мы можем записать, что
Добавляя и вычитая в числителе слагаемое 
будем иметь
Таким образом,
Пусть теперь 
. В силу дифференцируемости (и вытекающей из нее непрерывности) функций 
в точке х существуют пределы
Таким образом, поскольку 
существует предел при 
правой части (5.27), равный
Значит, существует предел при 
и левой части (5.27). По определению производной указанный предел равен 
и мы получим требуемую формулу
Теорема 5.5 полностью доказана.
Следствие из теоремы 5.5. Если для функций 
выполнены в данной точке х те же предположения, что и в теореме 5.5, то в этой точке х справедливы следующие соотношения для дифференциалов:
Для установления соотношений (5.28) достаточно умножить равенство (5.24) на 
и воспользоваться универсальным представлением (5.12) дифференциала произвольной функции 
