4. Всюду плотные и совершенные множества.

Определение 10. Пусть А и В — два множества в метрическом пространстве . Множество А называется плотным в В, если Множество А называется всюду плотным в пространстве X, если

Пространства, а которых имеются счетные всюду плотные множества, называются сепарабельными.

Рассмотренные выше примеры метрических пространств являются примерами сепарабельных метрических пространств. Так, в счетным всюду плотным множеством является множество точек, у которых все координаты — рациональные числа. В пространствах такими множествами являются множества многочленов с рациональными коэффициентами.

Однако пространство есть пример несепарабельного пространства. Если рассмотреть множество последовательно стей, состоящих только из нулей и единиц, то мощность такого множества есть континуум.

Убедимся в этом. Рассмотрим какое-либо число же . Разобьем сегмент пополам. Возьмем в качестве первого элемента последовательности число 0, если х принадлежит левой половине, т. е. сегменту [0, 1/2), и число 1 — в противном случае. Тот из двух рассматриваемых сегментов, которому принадлежит х, обозначим . В качестве второго элемента последовательности возьмем 0, если х принадлежит левой половине сегмента и 1 — в противном случае. Продолжая эти рассуждения далее, мы поставим в соответствие рассматриваемому числу х вполне определенную последовательность из нулей и единиц. Если то в результате описанного процесса эти точки на некотором этапе станут принад-. лежать разным отрезкам, а поэтому и последовательности, им отвечающие, будут разные. Следовательно, множество всевозможных последовательностей из нулей и единиц есть множество

мощности, не меньшей, чем континуум. Для наших целей этого и достаточно.

Взаимные расстояния в пространстве между двумя различными элементами множества есть величина, равная! единице. Следовательно, приблизихь сколь угодно близко каждый из этих элементов элементами счетного множества нельзя так как множество шаров радиуса 1/3 с центрами в точках множества имеет мощность не менее континуума и эти шары не пересекаются.

Поскольку где , то и все пространство несепарабельно.

Множество А называется нигде не плотным в метрическом пространстве X, если любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества А.

Например, в пространстве множество А функций вида — целые числа) нигде не плотно. Другой пример нигде не плотного множества на сегменте [0, 1] (рассматриваемом как метрическое пространство) дает так называемое канторово совершенное множество.

Множество А точек метрического пространства называется совершенным, если оно замкнуто и если каждая точка множества А является его предельной точкой.

Канторово совершенное множество на сегменте строится следующим образом. Из сегмента [0, 1] удаляется интервал (1/3, 2/3) и оставшееся множество — объединение двух сегментов - обозначается через Из этих двух сегментов, в свою очередь, удаляются их трети — интервалы (1/9, 2/9), (7/9, 8/9). Объединение оставшихся сегментов обозначим через I%. Продолжим этот процесс неограниченно. Очевидно, есть объединение 2" сегментов, длина каждого из которых

Множество и называется множеством Кантора.

Покажем, что К совершенно. То, что оно замкнуто, следует из построения и леммы 1; остается показать, что К не содержит изолированных точек. Пусть и пусть 2 — произвольная окрестность точки х, т. е. открытое множество. Тогда по определению открытого множества найдется интервал (шар с центром в точке содержащий точку х и принадлежащий Пусть — тот сегмент множества который содержит точку х. Если достаточно большое, то . Обозначим через тот конец сегмента который не совпадает

с х. Очевидно, это следует из построения множества Следовательно, произвольная окрестность точки множество содержит точку т. е. точка предельная для множества К, а К совершенно.

Докажем теперь, что множество К нигде не плотно на сегменте [0, 1], рассматриваемом как метрическое пространство с обычным евклидовым расстоянием. Поскольку любое открытое множество на сегменте содержит внутри себя интервал, то достаточно показать, что любой интервал (шар) содержит внутри себя другой интервал, свободный от точек, принадлежащих К. Пусть — произвольный интервал сегмента [0, 1]. Если он не содержит точек К, то построение в этом случае закончено. Если же имеется точка то мы можем выбрать, столь большое что и — натуральное.. Найдем интервал длины с центром в середине Ат. Этот интервал не содержит точек К и содержится в .

Таким образом, нигде не плотность множества К на сегменте доказана.