3. Критерий Коши сходимости последовательности.

При изучении вопроса о сходимости последовательности с помощью определения сходящейся последовательности приходится оценивать разность элементов последовательности и ее предполагаемого предела а.

Иными словами, приходится предугадывать величину предела а этой последовательности.

В этом пункте мы установим «внутренний» критерий сходимости последовательности, позволяющий сделать заключение о ее сходимости лишь по величине ее элементов и не использующий величины предполагаемого предела этой последовательности. Для установления такого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение. Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного числа найдется номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для любого натурального справедливо неравенство

Установим два важных свойства любой фундаментальной последовательности.

Свойство 1. Для любого положительного числа найдется элемент фундаментальной последовательности такой, что в -окрестности этого элемента находятся все элементы этой последовательности с номерами удовлетворяющими условию

Другими словами, для любого найдется элемент фундаментальной последовательности вне -окрестности которого лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности.

Для доказательства этого свойства следует фиксировать произвольное положительное число и взять в определении фундаментальной последовательности номер равным Мы получим при этом, что для любого натурального элементы фундаментальной последовательности удовлетворяют неравенству

или, что то же самое, неравенству

Так как любое натуральное число, то последние неравенства и означают, что все элементы фундаментальной последовательности, номер которых не меньше находятся в интервале т. е. в -окрестности Свойство 1 доказано.

Свойство 2. Фундаментальная последовательность является ограниченной.

Доказательство. Фиксируем некоторое Так как последовательность является фундаментальной, то для этого (в силу свойства 1) найдется элемент такой, что все элементы с номерами удовлетворяют неравенству

Обозначим теперь через А наибольшее из следующих чисел: . Тогда, очевидно, для всех номеров будет справедливо неравенство которое и означает ограниченность последовательности Свойство 2 доказано.

Докажем теперь следующую вспомогательную теорему.

Теорема 3.17. Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и ее верхний и нижний пределы совпадали между собой.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть последовательность сходится. Тогда она ограничена (в силу теоремы 3.8) и имеет единственную предельную точку (в силу леммы 1 из этого параграфа). Это и означает, что ее верхний и нижний пределы совпадают между собой.

2) Достаточность. Пусть последовательность ограничена (при этом она в силу теоремы 3.16 имеет верхний предел х и нижний предел и пусть Положим силу следствия 1 из теоремы 3.16 для любого в интервале лежат элементы последовательности начиная с некоторого номера. В силу определения 3 сходящейся последовательности (см. п. 4 § 1) это и означает, что последовательность сходится к пределу х. Теорема 3.17 доказана.

Докажем теперь следующую важнейшую теорему.

Основная теорема 3.18 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть последовательность сходится к некоторому пределу х. Докажем, что эта последовательность является фундаментальной. Фиксируем произвольное положительное число Так как последовательность сходится к пределу х, то для положительного числа найдется номер такой, что при всех

Если — любое натуральное число, то при всех и подавно будет справедливо неравенство

(ибо при заведомо будет справедливо неравенство

Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, то из неравенств (3.54) и (3.55) мы получим, что при всех и для любого натурального

а это и означает фундаментальность последовательности

2) Достаточность. Пусть последовательность является фундаментальной. Требуется доказать, что эта последовательность является сходящейся. В силу теоремы 3.17 достаточно доказать, что последовательность ограничена и что ее верхний и нижний пределы между собой.

Ограниченность любой фундаментальной последовательности уже установлена нами выше (см. свойство 2). Остается доказать, что для любой фундаментальной последовательности верхний предел х и нижний предел х совпадают. Фиксируем произвольное положительное число е. В силу свойства 1 фундаментальной последовательности найдется элемент этой последовательности такой, что вне -окрестности этого элемента, т. е. вне интервала лежит не более чем конечное число элементов последовательности Но тогда в силу следствия 2 из теоремы 3.16 интервал обязан содержаться в интервале и, в частности, должно быть справедливо неравенство

Так как, кроме того, то для любого будут справедливы неравенства . В силу произвольности из этих неравенств вытекает, что Критерий Коши полностью доказан.

Применим критерий Коши для установления расходимости последовательности с элементами

Заметим, что если для любого номера натуральное число взять равным то мы получим, что для всех номеров

ибо подчеркнутая сумма содержит слагаемых, наименьшее из которых равно

Таким образом, для положительного числа существует номера такого, что при всех и для любого натурального справедливо неравенство Это означает, что рассматриваемая последовательность не является фундаментальной и (в силу критерия Коши) расходится.

В качестве второго примера применим критерий Коши для установления сходимости последовательности с элементами где — любое число из интервала

Для любого номера и любого натурального числа справедливо неравенство

Фиксируем произвольное положительное число . Так как при последовательность является бесконечно малой, то для положительного числа найдется номер такой, что всех справедливо неравенство

Из неравенств (3.56) и (3.57) вытекает, что при всех и для любого натурального

а это означает, что рассматриваемая последовательность является фундаментальной и (в силу критерия Коши) сходится.