3. Инвариантность формы первого дифференциала.

В п. 3 § 2 мы убедились в том, что для случая, когда аргумент х дифференцируемой функции представляет собой независимую переменную, для дифференциала этой функции справедливо представление

Сейчас мы докажем, что представление (5.12) является универсальным и справедливо также и в случае, аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида некоторой

независимой переменной . Это свойство дифференциала функции принято называть инвариантностью его формы.

Итак, пусть аргумент х дифференцируемой функции сам является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной . В таком случае у можно рассматривать как сложную функцию вида аргумента . Поскольку этот аргумент t является независимой переменной, то для указанной функции и для функции дифференциалы представимы в форме (5.12), т. е. в виде

По правилу дифференцирования сложной функции

Подставляя (5.13) в первую из формул (5.19), придадим этой формуле вид

Сопоставляя полученное равенство (5.20) со вторым из равенств (5.19), окончательно получим для выражение

совпадающее с представлением (5.12).

Инвариантность формы (5.12) первого дифференциала функции установлена.

Замечание. Можно дать и другую эквивалентную формулировку свойства инвариантности формы первого дифференциала, сразу же вытекающую из универсальности представления (5.12): производная дифференцируемой функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу ее аргумента т. е. определяется равенством

как в случае, когда аргумент х является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной

Универсальность представления для производной (5.21) позволяет использовать отношение для обозначения производной функции по аргументу х.