2. О точках разрыва монотонной функции.

Следующее утверждение проливает свет на природу точек разрыва монотонной функции.

Теорема 4.9. Если функция определена на сегменте и является монотонной на этом сегменте, то она может иметь на зтом сегменте только точки разрыва первого рода, причем множество всех ее точек разрыва не более чем счетно.

Доказательство. В силу леммы, доказанной в § 2, монотонная функция имеет конечные правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмент и, кроме того, конечный правый предел в точке а и конечный левый предел в точке Отсюда и вытекает, что точками разрыва монотонной функции могут быть только точки разрыва первого рода.

Чтобы доказать вторую часть теоремы о том, что множество всех точек разрыва не более чем счетно, будем ради определенности считать, что является неубывающей на сегменте . Достаточно доказать не более чем счетность множества точек разрыва, расположенных на интервале , т. е. точек разрыва, являющихся внутренними точками сегмента . Заметим, что в каждой такой точке разрыва х справедливо неравенство для правого и левого пределов (см. замечание к указанной выше лемме). В силу леммы 2 гл. 2, каковы бы ни были два вещественных числа, не равных друг другу, всегда найдется рациональное число, заключенное между ними.

Так как в каждой точке разрыва х справедливо неравенство то каждой точке разрыва х можно поставить в соответствие некоторое рациональное число удовлетворяющее неравенствам

Заметим, что при этом разным точкам разрыва будут поставлены в соответствие разные рациональные числа. В самом деле, если — две точки разрыва такие, что то из неубывания

убывания функции следует, что а поэтому

Таким образом, множество всех точек разрыва функции расположенных внутри сегмента эквивалентно подмножеству множества рациональных чисел, которое, как доказано в § 7 гл. 2, является не более чем счетным.

Теорема доказана.