2. Вычисление частных производных неявно заданной функции.
Остановимся на вычислении частных производных функции, неявно заданной посредством уравнения (13.1). Пусть выполнены условия теоремы 13.1. Тогда для полного приращения функции 
справедливо представление (13.9). Это представление и теорема 13.9 позволяют утверждать, что частные производные функции 
определяются формулами
Аналогичные формулы справедливы и для случая, когда неявно заданная функция зависит не от двух, а от любого конечного числа аргументов 
. В этом случае
Если мы хотим обеспечить существование у неявно заданной функции 
частных производных второго порядка, то, естественно, приходится усилить требования, наложенные на 
в теореме 13.1, именно приходится дополнительно требовать, чтобы функция 
была два раза дифференцируема в рассматриваемой точке. В этих предположениях остановимся на вычислении частных производных второго порядка.
Введем полезное в дальнейшем понятие полной частной производной функции.
Предположим, что нам дана дифференцируемая функция трех аргументов 
причем один из этих аргументов и сам является дифференцируемой функцией двух других аргументов 
Тогда функцию 
можно рассматривать как сложную» функцию двух аргументов 
Частные производные этой сложной функции по 
будем называть полными частными, производными функции 
по 
и обозначать символами 
По правилу дифференцирования сложной функции мы получим следующие формулы для указанных полных частных производных:
Переходим к вычислению частных производных второго порядка неявно заданной функции. Ради определенности вычислим производную 
Дифференцируя первую из формул (13.10) по 
и принимая во внимание, что каждая из частных производных 
зависит от трех аргументов и, 
первый из которых сам является функцией 
будем иметь
Вставляя в полученную формулу выражение 
определяемое второй из формул (13.10), окончательно будем иметь
Совершенно аналогично вычисляются частные производные 
Аналогичным методом могут быть вычислены и частные производные третьего и последующих порядков.
Пример. Вычислить частную производную 
функции, неявно заданной уравнением
Используя равенства (13.10), получим, что
Далее получим, что
