3. Взаимно однозначное отображение двух множеств m-мерного пространства.

Рассмотрим в некоторой окрестности точки функции

Рассматриваемые функций осуществляют отображение указанной окрестности точки на некоторое множество -мерного пространства переменных Это отображение называется взаимно однозначным, если каждой точке из указанной окрестности точки соответствует только одна точка множества так что при этом каждая точка множества соответствует только одной точке указанной окрестности точки

Из теоремы 13.2 непосредственно вытекает следующее

Утверждение. Если функции (13.27) дифференцируемы в окрестности точки причем все частные производные первого порядка непрерывны в самой точке а якобиан отличен от нуля в этой точке, то функции (13.27) осуществляют взаимно однозначное отображение некоторой окрестности точки на некоторую окрестность точки где

В самом деле, соотношения (13.27) можно рассматривать как систему функциональных уравнений относительно для которой выполнены условия теоремы 13.2. Но тогда эта система всюду в некоторой окрестности точки имеет единственное решение:

Очевидно, что функции (13.27) осуществляют обратное отображение.

Заметим, что в условиях сформулированного утверждения как функции (13.27), осуществляющие прямое отображение, так а функции (13.27), осуществляющие обратное отображение, являются непрерывными. Взаимно однозначное отображение, обладающее таким свойством, называется гомеоморфизмом.

Более того, в условиях сформулированного утверждения как функции (13.27), осуществляющие прямое отображение, так и функции (13.27), осуществляющие обратное отображение, являются дифференцируемыми. Взаимно однозначное отображение, обладающее таким свойством, принято называть диффеоморфизмом.