§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой).

Замена переменной — один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот прием базируется на следующем элементарном утверждении.

Пусть функция определена и дифференцируема на множестве представляющем собой либо интервал, либо открытую полупрямую, либо бесконечную прямую, и пусть символ обозначает множество всех значений этой функции. Пусть, далее, для функции существует на множестве (0 первообразная функция т. е.

Тогда всюду на множестве для функции существует первообразная функция, равная т. е.

Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции

и учесть, что по определению первообразной Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл

В ряде случаев удается выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию что имеет место равенство

причем функция легко интегрируется, т. е. интеграл

просто вычисляется. Доказанное выше утверждение позволяет нам написать следующую формулу для интеграла (8.5):

Этот прием вычисления интеграла (8.5) и называется интегрированием путем замены переменной.

Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки

в значительной мере определяется искусством вычислителя. Приведем ряд примеров, иллюстрирующих только что изложенный метод.

1°. Вычислить Для вычисления этого интеграла следует сделать простейшую подстановку В результате этой замены получим

2°. Вычислить . Этот интеграл вычисляется посредством замены

При этом получим

3°. Вычислить Легко видеть, что этот интеграл вычисляется путем замены

В самом деле, при этом и

4°. Вычислить Для вычисления этого интеграла удобна замена В самом деле, при такой замене

5°. Вычислить интеграл Конечно, раскрывая подынтегральную функцию по формуле бинома Ньютона, мы можем свести этот интеграл к сумме тысячи девятисот восьмидесяти пяти табличных интегралов. Но гораздо проще сделать замену переменной в результате которой мы получим, что

6°. Вычислить Чтобы усмотреть ту замену, посредством которой может быть взят этот интеграл, перепишем его в виде

После этого понятно, что следует положить

В результате получим

7°. Вычислить интеграл Для вычисления этого интеграла удобна замена В результате указанной замены получим

8°. Вычислить Для вычисления этого интеграла оказывается удобной тригонометрическая подстановка

В результате этой подстановки интеграл принимает вид

9°. Вычислить Здесь оказывается удобной подстановка При этом

10. Вычислить Для вычисления этого интеграла оказывается удобной замена Мы получим