2. Множества точек m-мерного евклидова пространства.

Если у функции одной независимой переменной х, областью определения которой является некоторое множество точек одномерного евклидова пространства заменить это множество некоторым множеством точек -мерного евклидова пространства то мы естественно придем к понятию функции независимых переменных.

Отсюда ясно, что введению функции переменных должно предшествовать описание важнейших типов множеств точек m-мерного евклидова пространства .

Перейдем к описанию таких множеств.

1°. Множество всевозможных точек М пространства координаты которых удовлетворяют неравенству

называется открытым -мерным шаром радиуса с центром в точке

Иными словами, открытый -мерный шар радиуса с центром в точке это множество всех точек М, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки удовлетворяет неравенству

2°. Множество всевозможных точек М пространства координаты которых удовлетворяют неравенству называется замкнутым шаром радиуса с центром в

3°. Множество всевозможных точек М пространства координаты которых удовлетворяют равенству называется -мерной сферой радиуса с центром в точке

Замечание 1. Отметим, что если к открытому -мерному шару радиуса с центром в точке присоединить -мерную сферу радиуса с центром в точке то получится замкнутый .-мерный шар радиуса с центром в точке

4°. Открытый -мерный шар радиуса с центром в точке будем называть -окрестностью точки

5°. Множество всех точек М, координаты которых удовлетворяют неравенствам

где — некоторые положительные числа, называется открытым ерным координатным параллелепипедом с центром в точке или прямоуголь; ной окрестностью точки

Справедливо следующее элементарное утверждение: любая -окрестность точки содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки содержит некоторую -окрестность точки

6°. Точка М множества точек пространства называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая -окрестность точки М, все точки которой принадлежат множеству

7°. Точка М пространства называется внешней точкой множества если существует некоторая -окрестность точки М, все точки которой не принадлежат множеству

8°. Точка М пространства называется граничной точкой множества если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой указанного множества

Замечание 2. Граничная точка М множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству. Так любая точка -мерной сферы радиуса с центром в точке является граничной как для открытого -мерного шара радиуса с центром в точке так и для замкнутого -мерного шара радиуса с центром в точке Но любая точка указанной сферы не принадлежит открытому шару радиуса с центром принадлежит замкнутому шару радиуса с центром в

9° Произвольное множество М точек пространства называется открытым, если любая точка этого множества является его внутренней точкой

10°. Произвольное открытое множество, содержащее данную» точку принято называть окрестностью точки

11°. Произвольное множество точек пространства называется замкнутым, если это множество содержит все свои граничные точки.

Чтобы сформулировать другое эквивалентное определение замкнутого множества, введем понятие предельной точки произвольного множества М в пространстве Ет.

12°. Точку А пространства назовем предельной точкой множества если в любой -окрестности точки А со держится хотя бы одна точка этого множества, отличная от А.

Убедимся в том, что множество М замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

В самом деле, если множество М замкнуто, то оно содержит все точки пространства кроме своих внешних точек. Поскольку среди внешних точек множества М нет его предельных точек, то множество М содержит все свои предельные точки. Если же множество не содержит хотя бы одной своей граничной точки то эта точка очевидно, является предельной точкой множества

Доказанное утверждение позволяет дать другое эквивалентное определение замкнутого множества: множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки

13°. Множество точек пространства называется ограниченным, если найдется -мерный шар, содержащий все точки этого множества.

14°. Введем понятие непрерывной кривой в -мерном евклидовом пространстве .

Непрерывной кривой в пространстве мы будем называть множество точек этого пространства, координаты которых представляют собой непрерывные функции параметра

Мы будем говорить, что точки пространства можно соединить непрерывной кривой если существует такая непрерывная кривая определяемая параметрическими уравнениями (12.3), что

Понятие непрерывной кривой в пространстве позволяет нам ввести понятие связного множества.

15°. Множество точек пространства называется связным, если любые две тонки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Убедимся в том, что всякое связное множество в пространстве обладает следующим свойством: если множество связно, то не существует двух непустых непересекающихся открытых множеств и таких, что пересечение каждого из этих множеств с не пусто и множество содержится в объединении и

Проведем доказательство этого свойства от противного. Предположим, что два указанных множества и существуют. Так как пересечение каждого из этих множеств с не пусто, то найдутся две точки М и М" множества первая из которых принадлежит а вторая

Чтобы получить противоречие, завершающее наше доказательство, нам достаточно установить, что точки М и М" нельзя соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству

Пусть — любая непрерывная кривая в пространстве определяемая уравнениями (12.3) и соединяющая указанные точки М и Упорядочим все точки кривой по возрастанию параметра который изменяется в пределах сегмента Обозначим через у точную верхнюю грань тех значений параметра для которых отвечающие им точки кривой принадлежат

множеству , а через точку кривой отвечающую значению параметра

Достаточно доказать, что указанная точка не принадлежит множеству а для этого достаточно убедиться, что эта точка не принадлежит ни множеству ни множеству

Если бы точка принадлежала то, поскольку множество является открытым, нашлась бы некоторая -окрестность точки также принадлежащая т. е. нашлись бы точки кривой отвечающие значениям параметра превосходящим у, принадлежащие а это противоречит тому, что у является точной верхней гранью значений параметра для которых соответствующие точки кривой принадлежат

Аналогично если бы точка принадлежала то. она принадлежала бы этому множеству вместе с некоторой своей -окрестностью, т. е. нашлись бы точки кривой отвечающие значениям параметра меньшим у, принадлежащие и потому не принадлежащие а это противоречит тому, что у является точной верхней гранью значений параметра для которых соответствующие точки кривой принадлежат множеству

Итак, точка не принадлежит ни ни и сформулированное свойство доказано.

Мы не будем останавливаться на доказательстве обратного утверждения о том, что если множество в пространстве обладает указанным выше свойством, то оно является связным, а лишь отметим, что установленное нами свойство может быть положено в основу другого «топологического» определения понятия связного множества.

16°. Всякое открытое и связное множество в пространстве принято называть областью.

17°. Если множество представляет собой область, то множество полученное присоединением к множеству всех его граничных точек, называется замкнутой областью.

Открытый -мерный шар и открытый -мерный координатный параллелепипед являются ограниченными, связными и открытыми множествами, т. е. дают примеры ограниченных областей в пространстве .

-мерная сфера в пространстве дает пример замкнутого и ограниченного множества.

Замкнутый -мерный шар представляет собой ограниченную замкнутую область в .

Дополнение к открытому -мерному шару представляет собой неограниченное замкнутое множество.

Совокупность двух непересекающихся областей в пространстве дает пример несвязного множества.