§ 9. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Оценка остаточного члена для произвольной функции.
Оценим для произвольной функции 
остаточный член в формуле Маклорена (6.54), взятый в форме Лагранжа (6.55).
Предположим, что рассматриваемая нами функция 
обладает следующим свойством: существует такое вещественное число М, что для всех номеров 
и для всех значений аргумента х из
рассматриваемой окрестности точки 
справедливо неравенство
Функцию, обладающую указанным свойством, будем называть функцией, совокупность всех производных которой ограничена в окрестности точки 
Из неравенства (6.58) и из того, что 
вытекает, что
и поэтому из формулы (6.55) получим
Итак, мы получаем следующую универсальную оценку остаточного члена для функции, совокупность всех производных которой ограничена числом М в окрестности точки 
Напомним, что при любом фиксированном х
(см. пример из п. 4 § 2 гл. 3). Отсюда вытекает, что, выбирая достаточно большой номер 
мы можем сделать правую часть (6.60) как угодно малой. Это дает нам возможность применять формулу Маклорена для приближенного вычисления функций, обладающих указанным свойством, с любой наперед заданной точностью. Приведем примеры функций, совокупность всех производных которых ограничена в окрестности точки 
Совокупность всех производных этой функции ограничена на любом сегменте 
числом 
или 
Совокупность всех производных каждой из этих функций ограничена всюду на бесконечной прямой числом 
