§ 2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

В этом параграфе мы изучим вопрос об определении и о существовании площади так называемой плоской фигуры, под которой мы фактически будем понимать произвольное ограниченное множество точек плоскости.

Мы начнем наше рассмотрение с уточнения понятия такой фигуры и ее границы.

1. Понятия границы множества и плоской фигуры.

Рассмотрим множество всех точек плоскости и фиксируем одну из этих точек А.

Договоримся называть -окрестностью точки А множество тех точек плоскости, которые расположены внутри круга радиуса с центром в точке А.

Пусть теперь — какое угодно множество точек плоскости.

Точку М множества назовем внутренней точкой этого множества, если найдется такое, что -окрестность точки М также принадлежит множеству

Точку М, не принадлежащую множеству назовем внешней точкой множества если найдется такое, что -окрестность точки М также не принадлежит множеству

Точку М назовем граничной точкой множества если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества

Совокупность всех граничных точек множества назовем границей этого множества.

Замечание. Для простейших типов множеств представляющих собой часть плоскости, ограниченную простым замкнутым контуром или несколькими такими контурами, введенное нами понятие границы множества укладывается в наглядное интуитивное представление о границе. Для множеств произвольной природы граница в определенном нами смысле может иметь весьма причудливый вид и не укладываться в интуитивное представление о граничном многообразии. Так, для множества тех точек круга, абсцисса и ордината которых являются рациональными числами, границей в определенном нами смысле является весь указанный круг.

Множество точек плоскости будем называть ограниченным, если существует круг, содержащий все точки этого множества.

В дальнейшем мы будем рассматривать произвольное ограниченное множество точек плоскости и будем называть это множество плоской фигурой.

Границу плоской фигуры будем обозначать символом